Характеристическое уравнение

Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида(при F(t) (≡) 0 это уравнение называется однородным). Здесь а1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты. Z(t) — неизвестная функция времени t. F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначениеdi/dti = piтак, чтоdiZ(t)/dti = piZ(t),то это уравнение можно переписать в видеL(p)Z(t) = S(р)F(t),где L(р) и S(р) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочленL(р) = рn + a1pn—1 + .

+ an—1p + anназывается характеристическим многочленом (полиномом), а уравнениеL(р) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения X. У. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни X. У. Определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. П.). X. У. Линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней X.

У. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе X. У. Устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. X. У. Широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости ЛА и его управляемости..