Евклид Александрийский

(предположительно 330—277 до н.э.) — математик Александрийской школы Древней Греции, автор первого дошедшего до нас трактата по математике. Е. (возможно) получил образование в Академии Платона (Афины). Свои труды Е. Писал по единой схеме в форме дедуктивно систематизированных обозрений открытий древнегреческих математиков классического периода. Известны такие работы Е. По математике, как трактаты "О делении фигур", "Конические сечения" (в четырех книгах), "Феномены" (посвященные сферической геометрии), "Поризмы", а также работы по астрономии, музыке и оптике, в которых ведущая роль отводилась математике. В сочинениях Е. "Оптика" и "Катоптрика" — хронологически первых систематических исследованиях свойств лучей света — рассматривались проблемы зрения и его применения для определения размеров различных предметов, построена теория зеркал.

Эти сочинения были математическими и по содержанию, и по структуре. Основное место в них, как и в "Началах", отводилось теоремам, аксиомам и определениям. В своем главном труде "Начала" (латинизированное — "Элементы") Е. В 15 книгах изложил основные свойства пространства и пространственных фигур, т.е. Планиметрию, стереометрию и элементы теории чисел как подведение итогов предыдущего развития математики в Древней Греции и закладку оснований для дальнейшего развития математики. В книге Е. "Начала" математика выступала, пишет М.Клайн, "...как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира...". Каждая книга "Начал" начинается с определений. В первой книге "Начал" приведены постулаты и аксиомы, за ними расположены в строгом порядке теоремы и задачи на построение (так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на предыдущие).

Там же введены 23 предварительных определения объектов геометрии. Например, "точка есть то, что не имеет частей". "линия — длина без ширины". "прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней". Были введены определения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, призмы, пирамиды, пяти правильных многогранников и др.За определениями следовали 5 известных постулатов (требований) Е. К построению фигур в геометрии. 1) От всякой точки до всякой другой точки возможно провести только одну прямую линию. 2) Ограниченную прямую линию возможно непрерывно продолжать по прямой. 3) Из всякого центра и всяким раствором возможно описать круг. 4) Все прямые углы равны между собой. 5) Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат имеет столь важное значение, что он получил специальное наименование "пятый постулат Е. О параллельных" ("постулат о параллельных", иногда также встречается неточное название "аксиома Е. О параллельных"). Однако Е. В трактовке пятого постулата непосредственно не упоминал о существовании двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются. Далее Е. Привел 9 аксиом (которые Аристотель назвал "предельно всеобщими истинами"). 1) Равные одному и тому же равны и между собой. 2) Если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны. 3) Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны. 4) Если к неравным прибавляют равные, то и целые будут не равны. 5) Удвоенные одного и того же равны между собой.

6) Половины одного и того же равны между собой. 7) Совмещающиеся один с другим равны между собой. 8) Целое больше части. 9) Две прямые не содержат пространства. В аксиомах Е. Отсутствовали как понятие неопределяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Однако система аксиом Е. Послужила базисом для логического вывода (основываясь и на постулатах с определениями) остальных 465 предложений (теорем и задач) "Начал", составляя вместе с постулатами Е. Конструктивный "каркас" геометрии Е. Со времен опубликования книги "Начала" попытки многих математиков доказать истинность постулата Е. О параллельных (на основании только аксиом Е. И четырех остальных его постулатов) предпринимались для того, чтобы, писал М.Клайн, "...удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чи- стой и прикладной математики...".

Такие утверждения Е., как "прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками", "через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну" и постулат о параллельных были названы Кантом "априорными синтетическими суждениями" (см. Априорные синтетические суждения), являющимися частью "оснащения" нашего разума. По Г.С.Клюгелю (1763), восприятие аксиом Е. (и в большей степени аксиомы о параллельных) как чего-то достоверного основано на человеческом опыте, ибо аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. А для Канта вообще был немыслим иной способ организации опыта, чем геометрия Е. И механика Ньютона. Таким образом, со времен "Начал" Е. И фактически до конца 19 в.

Законы окружающего нас физического пространства макромира были, как полагал М.Клайн, "...всего лишь теоремами геометрии Евклида и ничем больше...". Исследования К.Гаусса, Лобачевского, Л.Бойяи, Б.Римана и др. В 19 в. Привели к пониманию того, что постулат о параллельных невозможно доказать на основании 9 аксиом и остальных постулатов и что для обоснования постулата о параллельных необходима еще одна аксиома. А поскольку аксиома о параллельных полностью независима от остальных, то возможно заменить ее противоположной аксиомой и выводить следствия из вновь сконструированной аксиоматической системы. Это привело к созданию неевклидовых геометрий, в которых аксиома о параллельных непротиворечиво заменяется на другую аксиому, адекватную свойствам пространства, над которым строится данная неевклидова геометрия.

Книга "Начала" Е. Дала возможность создать концепцию логического, математического подхода к познанию природы. Хотя сочинение Е. Предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматически-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, но и ко всем естественным наукам. Через "Начала" Е. Понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира. C.B. Силков.