S-двойственность
стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. И когомотопич. Групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. И S-когомотопнч. Групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. Категория, объектами к-рой являются топологич. Пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g. Считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле. Множество {Х х, X2} таких классов, наз.
S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. Колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа {Х г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. Классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S. {Х 1, Х 2}{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. Произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. Е. Если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение удовлетворяющее следующим условиям.
а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. Е. Dn есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 - элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то б) Оно удовлетворяет соотношениям где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2. Это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки. в) Оно удовлетворяет равенству где и - гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и Dnq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом DnXi. Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.
S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. Группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму и к коммутативной диаграмме Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. И S-когомотопич. Группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. Классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.
Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. Групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. Группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. Группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности. Теория обобщается в различных направлениях.
Напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8]. Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25. [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80. [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38. [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329. [5] Сп.
Дополнительный поиск S-двойственность
На нашем сайте Вы найдете значение "S-двойственность" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением S-двойственность, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "S". Общая длина 16 символа