В нашей базе магии слов: 194 словаря. 2 207 871 слов

S-двойственность

88

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g: считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле.

Множество х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S:1, Х 2}{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. е. если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак

Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 - элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то

б) Оно удовлетворяет соотношениям где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где и - гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и Dnq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Сп. <чньер Э. Г., Уайтхед Дж. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 27 - 56; [6] Экман Б., Хилтон П., там же, 1960, т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.


Значения в других словарях
P-отделимая Группа

- группа, у к-рой среди различных простых делителей каждого индекса ее композиционного ряда содержится не более одного простого числа из p (p - нек-рое множество простых чисел). Класс p-О. г. содержит класс p -разрешимых групп. Для конечных p-О. г. установлена справедливость p-силовскпх свойств (см. [1]). Именно, для любого множества конечная p-О. г. Gсодержит p1. холловскую подгруппу и любые две ...

P-разрешимая Группа

- обобщение понятия разрешимой группы. Пусть p - нек-рое множество простых чисел. Конечная группа, каждый индекс композиционного ряда к-рой либо не делится ни на одно число из p, либо совпадает с нек-рым числом из p, наз. p-р а з р е ш и м о й г р у п п о й. Основные свойства p-Р. г. подобны свойствам разрешимых групп. p-Р. г. является p1 Р. г. для любого ; подгруппы, факторгруппы и расширения p ...

T-распределение

- см. Стъюдента распределение. ...

Дополнительный поиск S-двойственность

Комментарии
Комментариев пока нет

На нашем сайте Вы найдете значение "S-двойственность" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением S-двойственность, различные варианты толкований, скрытый смысл.

Первая буква "S". Общая длина 30 символа