Абеля Теорема
- 1) А. Т. Об алгебраических уравнениях . Ни для какого п, большего или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов. Найдена Н. Абелем в 1824 (см. [1]). А. Т. Может быть получена также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает и более общее утверждение. Для любого существуют алгебраич. Уравнения с целыми коэффициентами, корни к-рых не выражаются через радикалы из рациональных чисел. Современную формулировку А. Т. Для уравнений над произвольным полем см. Алгебраическое уравнение. 2) А. Т. Для степенных рядов. Если степенной ряд где - комплексные числа, сходится при то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге радиуса с центром в точке b.
Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число обладающее тем свойством, что при ряд сходится, а при расходится. Это число Rназ. Радиусом сходимости ряда (*), а круг наз. Кругом сходимости ряда (*). 3) А. Т. О непрерывности. Если степенной ряд (*) сходится в точке z0 границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике Т с вершинами где лежат внутри круга сходимости. В частности, Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу. На всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.
4) А. Т. Для рядов Дирихле. Если Дирихле ряд сходится в точке то он сходится в полуплоскости и сходится равномерно внутри любого угла Является обобщением А. Т. Для степенных рядов (достаточно взять и обозначить ). Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость где с - абсцисса сходимости ряда. Для обыкновенного ряда Дирихле с известной асимптотикой для сумматорной функции коэффициентов ряда справедлива следующая теорема. Если где - комплексные числа, - действительное число, то ряд Дирихле сходится при функция регулярно продолжается на полуплоскость исключая точку причем если если Здесь - регулярная при функция. Напр., дзета-функция Римана ( ) регулярна по крайней мере в полуплоскости исключая точку в к-рой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1.
Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если где - любые комплексные числа, и то ряд Дирихле сходится при регулярен в области исключая точки в к-рых он имеет алгебраич. Или логариф-мич. Особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики получать определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости. .
Дополнительный поиск Абеля Теорема
На нашем сайте Вы найдете значение "Абеля Теорема" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Абеля Теорема, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "А". Общая длина 13 символа