Абсолютная Суммируемость

специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования Аопределен преобразованием последовательности в последовательность посредством матрицы тогда последовательность абсолютно суммируема методом к пределу s, если она A-суммируема к этому пределу, т. Е. и последовательность имеет ограниченную вариацию. Если являются частичными суммами ряда то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом Ак сумме s.

Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. С. Из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. С. Для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд посредством матрицы то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу Асоответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. С. Ряда совпадает с его абсолютной сходимостью. Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммирования таким условием является требование, чтобы функция имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<=x<1.

Для интегральных методов суммирования А. С. Выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе суммирования должен абсолютно сходиться интеграл Метод суммирования наз. Сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. А б-солютно регулярным. Напр., Чезаро метод суммирования абсолютно регулярен при Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы являются условия. (теорема Кноппа- Лоренца).

Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов. Обобщением А. С. Является абсолютная суммируемость в степени Дополнительным условием, выделяющим А. С. В степени риз обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности в последовательность является условие. Понятие А. С. Введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной. А. С. Выделялась требованием для каждого А. С. Применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. С. Методами суммирования Чезаро ( суммируемость).

Общее определение А. С. Возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье. Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. С англ., М., 1951. [2] Kogbetliantz E., Summation des series et integrates divergentes par les moyennes arlthmetiques et typiques, P., 1931. [3] Knopp K., Lorentz G. G., "Arch. Math.", 1949/50, Bd 2, S. 10 - 16. [4] Кангро Г. Ф., в сб. Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974. И. И. Волков..