Абстракция Математическая

абстракция в математике, мысленное отвлечение, представляющее собой существенную составную часть мыслительной деятельности, направленной на формирование основных математич. Понятий. Наиболее характерными для математики типами абстрагирования являются "чистое" отвлечение, идеализация и их разнообразные многоступенчатые наслоения (см. [5], с. 284). Мысленный акт "чистого" отвлечения состоит в том, что в нек-рой рассматриваемой нами ситуации наше внимание фиксируется лишь на определенных (существенных для нас) свойствах исходных объектов рассмотрения и отношениях между этими объектами, в то время как другие свойства и отношения, рассматриваемые нами как несущественные, нашим сознанием в расчет не принимаются.

Результат такого акта абстрагирования, закрепленный с помощью надлежащих языковых средств, начинает играть роль общего понятия. Типичный пример такой А. М.- абстракция отождествления. Мысленный акт идеализации состоит в том, что в нек-рой рассматриваемой нами ситуации наше воображение порождает нек-рое понятие, становящееся для нашего сознания предметом рассмотрения, причем это понятие наделяется нашим воображением не только такими свойствами, к-рые были выделены у исходных объектов в результате актов "чистого" отвлечения, но и другими - воображаемыми - свойствами, отражающими свойства исходных объектов в измененном виде или даже вообще отсутствующими у этих последних. Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности.

Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация - абстракция потенциальной осуществимости - приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики. Характер той или иной математич. Теории в значительной мере определяется характером А. М., применяемых в этой теории при формировании ее основных понятий. Анализ этих А. М. Является одной из центральных задач оснований математики. Тщательное рассмотрение относящейся к этому кругу вопросов проблематики привело к осознанию следующих играющих фундаментальную роль обстоятельств.

1) суждения об абстрактных объектах, возникающих в результате наслоения далеко идущих идеализации, требуют разработки особых способов их понимания. Разработка этих способов представляет собой трудную проблему, являющуюся предметом специальной научной дисциплины - семантики. 2).логич. Аппарат, применение к-рого оказывается допустимым в рамках той или иной математич. Теории, существенным образом зависит от характера исходных понятий этой теории, а следовательно, и от характера А. М., применяемых при формировании этих понятий (см. Интуиционизм, Конструктивная математика). Значительный вклад в анализ абстракций, применяемых в математике, внесли Л. Э. Я. Брауэр [1], Г. Вейль [2], Д. Гильберт [3], А. А. Марков [4] и др. .