Алгебраическая Группа

группа G, наделенная структурой алгебраического многообразия, в к-рой умножение и переход к обратному элементу являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраич. Многообразий. А. Г. Наз. Определенной над полем , если ее алгебраич. Многообразие, а также морфизм и определены над В этом случае множество -рациональных точек многообразия Gявляется абстрактной группой, к-рая обозначается . А. Г. Наз. Связной, если ее алгебраич. Многообразие связно. Размерностью А. Г. Наз. Размерность ее алгебраич. Многообразия. В дальнейшем рассматриваются только связные А. Г. Подгруппа H А. Г. G наз. Алгебраической, если она является замкнутым подмногообразием алгебраич. Многообразия G. Для таких подгрупп пространство классов смежности (левых или правых) может быть естественным образом наделено структурой алгебраич.

Многообразия, обладающей универсальным свойством (см. Фактор-пространство алгебраической группы). Если подгруппа H, кроме того, нормальна, то факторгруппа является А. Г. Относительно указанной выше структуры. Она наз. Алгебраической факторгруппой. Гомоморфизм А. Г. Наз. Алгебраическим, если - морфизм их алгебраич. Многообразий. Если определен над , то он наз. -гомоморфизмом. Аналогично определяется k- изоморфизм А. Г. Примеры А. Г. Полная линейная группа - группа всех обратимых матриц порядка пс коэффициентами в фиксированном алгебраически замкнутом поле k, группа треугольных матриц, эллиптическая кривая. Существуют два основных типа А. Г., совершенно различных по своим свойствам. абелевы многообразия и линейные алгебраические группы;при этом принадлежность А.

Г. К одному из этих типов определяется исключительно свойствами многообразия группы. А. Г. Наз. Абелевым многообразием, если ее алгеб-раич. Многообразие полное. А. Г. Наз. Линейной А. Г., если она изоморфна алгебраич. Подгруппе полной линейной группы. А. Г. Является линейной тогда и только тогда, когда ее алгебраич. Многообразие аффинно. Эти два класса А. Г. Имеют тривиальное пересечение. Если А. Г. Есть одновременно абелево многообразие и линейная группа, то она единичная группа. Изучение произвольных А. Г. В значительной степени сводится к изучению абелевых многообразий и линейных групп. Именно, в произвольной А. Г. Существует единственная нормальная линейная алгебраич. Подгруппа Нтакая, что факторгруппа G/Hесть абелево многообразие. Многочисленные примеры А.

Г., не являющихся ни линейными А. Г., ни абелевыми многообразиями, дает теория обобщенных Якоби многообразий для алгебраич. Кривых с особенностями (см. [4]). Естественное расширение класса алгебраич. Групп приводит к понятию групповой схемы. .