Александрова - Чеха Гомологии И Кого-мологии

спектральные гомологии и когомологии, - гомологии и когомологии, удовлетворяющие всем Стинрода - Эйленберга аксиомам (кроме, быть может, аксиомы точности) и нек-рому условию непрерывности. Группы (или модули) гомологии Александрова-Чеха [1], [2] определяются как обратный предел по всем открытым покрытиям пространства X;при этом означает не только покрытие, но и его нерв, а . Есть подкомплекс в , являющийся нервом ограничения покрытия на замкнутое множество А. Возможность перехода к пределу обеспечивается существованием спмплициальных проекции -*Х определяемых, с точностью до гомотопных, вписанностью в . Когомологии Александрова - Чеха определяются как прямой предел Гомологии удовлетворяют всем аксиомам Стинрода - Эйленберга, кроме аксиомы точности.

Для когомологии справедливы все аксиомы. Частично поэтому когомологии значительно более употребительны. На категории бикомпактов аксиома точности имеет место и для гомологии, если G - компактная группа или поле. Кроме того, А.- Ч. Г. И к. Обладают свойством непрерывности. Для гомологии (когомологии) равны соответствующему пределу гомологии (когомологии) бикомпактов Х l ,. При этом теория Александрова - Чеха является единственной теорией, удовлетворяющей аксиомам Стинрода - Эйленберга (с указанным исключением) и этому условию непрерывности. На категории параком-пактных пространств для когомологии справедлива обычная характеристика через отображения в полиэдры Эйленберга - Маклейна, а сами когомологии эквивалентны когомологиям, определяемым в пучков теории.

Когомологии могут быть определены также как когомологии нек-рого предельного коцепного комплекса, что дает возможность оперировать пучками коцепей. Аналогичные идеи в применении к гомологиям приводят к теории гомологии, идущей от Н. Стинрода (N . Steen-rod), А. Бореля (A. Borel) и др. И удовлетворяющей всем аксиомам, включая точность (но свойство непрерывности теряется). А.- Ч. Г. И к., вместе с указанной модификацией, применяются в гомологич. Вопросах теории непрерывных отображений, в теории групп преобразований (связь е факторпространством), в теории обобщенных многообразий (в частности, в различных соотношениях двойственности), в теории аналитич. Ространств (напр., для определения фундаментальных классов гомологии), в гомологич.

Теории размерности и т. П. Лит.:[1] Александров П. С., "Ann. Of Math.", 1928, v. 30, p. 101-87. [2] Сесh E., "Fundam. Math.", 1932, t. 19, p. 149-S3. [3] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. С англ., М., 1958. [4]Скляренко Е. Г., Теория гомологии и аксиома точности, "Успехи матем. Наук", 1969, т. 24, вып. 5 (149), с. 87-140. Е. Г. Скляренко.