Алефы

,- первая буква древнееврейского алфавита,- символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor) для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора аксиомы). Но многие теоремы об А. Доказываются без аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа через обозначается мощность множества всех порядковых чисел, меньших . В частности, есть мощность множества всех натуральных чисел, - мощность множества всех счетных порядковых чисел и т. Д. Если Кардинал является наименьшим кардинальным числом, следующим за . Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что для любого порядкового числа . При равенство приобретает вид и составляет содержание континуум-гипотезы.

Множество всех А., меньших , вполне упорядочено по величине и порядковый тип его равен . Естественным образом определяются сумма, произведение и степень А . При этом Наиболее часто встречаются следующие формулы. Рекурсивная формула Хаусдорфа. ее частным случаем при является формула Бернштейна. Рекурсивная формула Тарского. Если порядковое число предельно и , то При этом обозначает конфинальный характер порядкового числа . Как и в случае кардинальных чисел, различают сингулярные А., регулярные А., предельные А., слабо недостижимые А., сильно недостижимые А. И др. Напр., сингулярно, если предельно и Среди А. Нет наибольшего. Множество всех А., как показал Г. Кантор, не мыслимо, т. Е. Такого множества не существует.

См. Также Вполне упорядоченное множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Множеств теория, Порядковое число. Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948. [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. С нем., М.- Л., 1937. [3]Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. С англ., М., 1969. [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. С англ., М., 1970. Б. А. Ефимов.