Аналитическая Группа

множество G, наделенное одновременно структурой топологической группа и структурой конечномерного аналитического многообразия (над нолем k, полным относительно нек-ро-го нетривиального абсолютного значения).так, что отображение заданное правилом является аналитическим. А. Г. Gвсегда хаусдорфова. Если А локально компактно, то Gлокально компактна. В случае, когда kявляется соответственно полем действительных, комплексных или р-адических чисел, G наз. Соответственно вещественной (действительной), комплексной или р-адической А. Г. Примером А. Г. Может служить полная линейная группа векторного пространства над k(см. Линейная классическая группа).или, более общо, группа обратимых элементов произвольной конечномерной ассоциативной алгебры с единицей над k.

Вообще, группа k-рациональных точек алгебраической группы,, определенной над k, является А. Г. Подгруппа в А. Г. G, являющаяся подмногообразием в G, наз. Аналитической подгруппой. Такая подгруппа обязательно замкнута в G. Напр., ортогональная группа является аналитич. Одгруппой в Всякая замкнутая подгруппа вещественной или р-адической А. Г. Аналитична и всякий непрерывный гомоморфизм таких групп аналитичен (теоремы Картана, см. [1]). А. Г. Иногда наз. Группой Ли (см. [1]), однако обычно группа Ли понимается более узко как вещественная А. Г. (см. [2], [3] и Ли группа). Комплексная же и р-адическая А. Г. Наз. Соответственно комплексной и р-адической группами Ли. Сформулированные выше теоремы Картана означают, что категория вещественных пли р-адических А.

Г. Будет полной подкатегорией в категории локально компактных топологич. Групп. Вопрос о том, насколько эти категории отличаются, т. Е. Когда локально компактная группа G является вещественной или р-адической А. Г., допускает исчерпывающий ответ. В действительном случае в G должна существовать окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (см. [5] -[9]). В р-адическом случае в G должна содержаться конечно порожденная открытая подгруппа U, являющаяся про- р-группой, коммутант к-рой лежит в множестве степеней элементов из U(см. [10]). В частности, любая топологич. Группа, имеющая окрестность единицы, гомеоморфную евклидову пространству (так наз. Локально евклидова топологическая группа, см. [4]), есть вещественная А.

Г. Иначе говоря, из существования в топологич. Группе непрерывных локальных координат вытекает существование аналитических локальных координат. Этот результат составляет положительное решение пятой проблемы Гильберта (см. [5], [11]). В случае нулевой характеристики поля kважнейшим методом исследования А. Г. Является изучение их алгебр Ли (см. Ли алгебра аналитической группы). О бесконечномерных А. Г. См. Ли банахова группа. Лит.:[11 Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. С англ, и франц., М., 1969. [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973. [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 1, пер. С англ., М., 1948. [4] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. С англ., М., 1964. [5] Проблемы Гильберта, М., 1969, с.

101 - 15. [6] G1еasоn A., "Ann. Math.", 1952, v. 56, №. 2, p. 193-212. [7] Моntgоmеrу D., Ziррin L., "Ann. Math.", 1952, т. 56, № 2, p. 213-41. Г8] Yamabе Н., "Ann. Math.", 1953, v. 58, M 1, p. 48-54. [9] его же, там же, 1953, v. 58, № 2, р. 351-65. [10] Lazard M., "Publ. Math. IHES", 1965, t. 26, p. 389-594. [11] Капланский И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. С англ., М., 1974. В. Л. Попов.