Аналитическая Функция Абстрактная

аналитическое отображение банаховых пространств,- функция действующая из нек-рой области Dбанахова пространства Xв банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. Е. Такая, что для каждой точки существует ограниченный линейный оператор из , для к-рого выполняется соотношение. где обозначает норму в . наз. Дифференциалом Фреше функции f в точке а. Другой подход к понятию А. Ф. А. Возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x).из Dв Yназ. Слабо аналитической в D, илп дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала у' над пространством Yи каждого элемента комплексная функция является голоморфной функцией комплексного переменного в круге где Всякая А.

Ф. А. В области Dнепрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру. Термин "А. Ф. А." иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция комплексного переменного со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич. пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. Функция в области Dплоскости комплексного переменного является А. Ф. А. Можно также сказать, что функция будет А. Ф. А. В области тогда и только тогда, когда непрерывна в и для любого простого замкнутого спрямляемого контура интеграл обращается в нуль. Для А. Ф. А. комплексного переменного z справедлива интегральная формула Кошп (см.

Коши интеграл). Пусть - слабо аналитич. Функция в области Dбанахова пространства X. Тогда , как функция комплексного переменного , имеет производные всех порядков в области причем эти производные суть А. Ф. А. Из D в Y. Если множество принадлежит D, то где ряд сходится по норме и Функция у=Р (х).из Xв Yназ. Полиномом относительно переменного хстепени не выше т, если для всех и для всех комплексных где функции не зависят от . Степень точно равна т, если Степенным рядом наз. Ряд вида - однородные полиномы степени птакие, что = для всех комплексных . Всякий слабо сходящийся степенной ряд в области Dсходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции , причем . Функция является А. Ф. А. В Dтогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки она разлагается в степенной ряд где все непрерывны в X.

На А. Ф. А. Переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. Теории аналитич. Функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувил.