Аналитическое Продолжение

функции- доопределение функции f0, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области , содержащей Е, такое, что сужение функции f на Есовпадает с . Отправным в теории А. П. Является понятие (аналитического) элемента, т. Е. Пары , где - область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы составляют непосредственное А. П. Друг друга через связную компоненту множества если Элемент , по определению, аналитически продолжается в граничную точку если существует непосредственное_А. П. элемента через такое, что Максимальным (в М).А. П. наз. Элемент (D,/), аналитически продолжающий в область но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D.

Максимальное А. П. в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае ), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих Элемент наз. А. П. Элемента , если существует конечный набор элементов и связных компонент А,- соответственно в таких, что являются непосредственными А. П. Друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция , определенная первоначально в области , аналитически продолжается в точку , если существует А. П. Элемента такое, что . Среди элементов, продолжающих в точку z, вводится отношение эквивалентности. , если в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности (для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М.

Функция естественно поднимается в (значение на классе эквивалентности в z, содержащем , полагаем равным ), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку над . В случае, когда есть комплексная плоскость или, более общо, комплексное пространство , , этот процесс А. П. Описывается проще. Каноническим элементом наз. Пара , где - степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости Da. Канонич. Элемент вдоль пути если существует семейство канонич. Элементов , с центрами таких, что и для каждого элементы являются непосредственными А. П. для всех t, достаточно близких к . Семейство на самом деле определяется однозначно. Если , , есть непрерывное семейство путей в с общими концами аи b и если аналитически продолжается вдоль каждого , то результат не зависит от (монодромии теорема).

Точками в случае являются канонич. Элементы получаемые посредством А. П. Вдоль всевозможных путей в . поднимается в аналитически на всю до голоморфной функции , причем есть область голоморфности . // .