Аппроксимация Периодическими Преобразованиями

- один из методов в эргодической теории. Любой автоморфизм Тпространства Лебега Xс мерой может быть получен как предел периодич. Автоморфизмов в естественной для пространства всех автоморфизмов топологии, слабой или равномерной (см. [1]). При количественной характеристике скорости аппроксимации наряду с автоморфизмами рассматривают инвариантные относительно конечные измеримые разбиения X, т. Е. Разбиения ц пространства Xна конечное число непересекающихся измеримых множеств которые автоморфизм переводит друг в друга. Ье-личина оценивает близость относительно разбиения . Здесь - симметрическая разность. При фиксированном можно подобрать такие и (с указанными выше свойствами), что оудет сколь угодно мало (см.

[1]). варианты автоморфизма Твозникают при рассмотрении такой бесконечной последовательности что для любого измеримого множества Аимеется последовательность множеств , целиком состоящая из нек-рых и аппроксимирующая Ав том смысле, что ("разбиения сходятся к разбиению на точки"). Если при этом где - заданная монотонная последовательность, стремящаяся к нулю, то говорят, что ^допускает А. П. П. I рода со скоростью . Если, сверх того, циклически переставляет множества то говорят о циклической А. П. П. Другие варианты см. В [2], [6], [7]. При определенной скорости аппроксимации те или иные свойства периодпч. Автоморфизмов влияют на свойства предельного автоморфизма Т. Напр., если Тдопускает циклич. А. П. П. Со скоростью с/n, то при это гарантирует эргодичность Т, при - отсутствие у Тперемешивания, а при - простоту спектра соответствующего унитарного оператора сдвига.

Нек-рые свойства Тмогут быть охарактеризованы в терминах скорости аппроксимации. Напр., его энтропия равна нижней грани тех с, для к-рых Тдопускает А. П. П. I рода со скоростью (см. [2], [7]). А. П. П. Применялась при исследовании ряда простых конкретных примеров (см. [2]), включая гладкие потоки на двумерных поверхностях (см., напр., [8]). При ее помощи был построен ряд динамич. Систем с неожиданными метрич. Свойствами (см. [2], [6], [7]) или с неожиданным сочетанием метрич. Свойств с дифференциальными (см. [3], [4]). Утверждение о плотности периодич. Автоморфизмов в , снабженном слабой топологией, может быть существенно усилено. Для любой монотонной последовательности автоморфизмы, допускающие циклич. А. П. П. Со скоростью , образуют в множество II категории (см.

[2]). Поэтому А. П. П. Позволяет получать так наз. Категорные теоремы, утверждающие, что в (со слабой топологией) автоморфизмы с тем или иным свойством образуют множество I или II категории (напр., эргодические множества - II категории, а перемешивающие -I категории, см. [1]). Пусть X - топологическое или гладкое многообразие, а мера m. Согласована с топологией или гладкостью. В классе гомеоморфизмов или диффеоморфизмов, сохраняющих (.1, естественными являются не слабая, а другие топологии. Для гомеоморфизмов справедливы категорные теоремы, сходные с имеющимися для 31 (историю и современное состояние проблемы см. В [5]). Лит.:[1] Халмош П., Лекции по эргодической теории, пер. С англ., М., 1959. [2] Каток А. Б., Стёпин А.

М., "Успехи матем. Наук", 1967, т. 22, М" 5, с. 81-106. [3] Аносов Д. В., Каток А. Б., "Тр. Моск. Матем. Об-ва", 1970, т. 23, с. 3-36. [4] Каток А. Б., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1973, т. 37, Ml 3, с. 539-76. [5] Каток А. Б., Стёпин А. М., "Успехи матем. Наук", 1970, т. 25, № 2, с. 193- 220. [6] Akсоglu М. A., Chacon R. V., Sсhwartzbauеr Т., "Ргос. Amer. Math. Soc.", 1970, v. 24, № 3, p. 637- 642. F7]SchwartzbauerT., "Pacific J.Math.", 1972, v. 43, Mi 3, p. 753-64. [8] Кочергин А. В., "Матем. Сб.", 1975, т. 96, М" 3, с. 472-502. Д. В. Аносов.