Арифметическая Функция

теоретико-числовая функция,- комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств. Множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. Числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. П. Это - А. Ф. В широком смысле. Однако часто под А. Ф. Понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. Свойствами. Наиболее употребительные А. Ф. Имеют традиционные символич. Обозначения. - Эйлера функция, или - делителей число, - Мёбиуса функция, - Манголъдта функция, - сумма делителей числа п. К А. Ф. Относят также целую часть числа и дробную часть числа . Изучаются А. Ф., выражающие число решений уравнения.

Напр., - число решений в целых числах . Уравнения в Гольдбаха проблеме. - число решений в простых числах уравнения Другие А. Ф. Выражают количество чисел с к.-л. Условиями. Напр., функция - число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел. - число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. Прогрессии Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции. - сумма натуральных логарифмов простых чисел до и В алгебраич. Теории чисел рассматриваются обобщения названных А. Ф. Натурального аргумента. Напр., в алгебраич. Поле Кстепени пдля целого идеала вводится функция Эйлера - число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с А. Ф. Возникают и используются при изучении свойств чисел.

Однако теория А. Ф. Представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А.