Арифметический Род

численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. Многообразия X(над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность пи к-рое определяется однородным идеалом I в кольце , арифметический род выражается через свободный член Гильберта многочлена идеала по формуле Это классич. Определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему. где - эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке . В такой форме определение А. Р. Переносится на любые полные алгебраич. Многообразия, а также показывает инвариантность относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а есть поле комплексных чисел, где - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на Х.

При такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n=1, то есть род кривой X;если n=2, то где q- иррегулярность поверхности - геометрический род поверхности X. Для любого дивизора на нормальном многообразии XО. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического рода как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка , соответствующего дивизору D. Если дивизоры алгебраически эквивалентны, то А. Р. Есть бирациональный инвариант в случае поля kнулевой характеристики. В общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности Лит.:[1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. С англ., М., 1961. [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер.

С англ., М., 1973. И. В. Долгачев.