Арифметический Ряд

порядка т- последовательность значений многочлена степени т. принимаемых им при последовательных целых, неотрицательных значениях переменной Если получается арифметич. Прогрессия с начальным членом и разностью . При или получаются последовательности квадратов или кубов целых чисел - частные случаи А. Р. 2-го и 3-го порядков. Если составить ряд из разностей соседних членов А. Р., затем для полученной последовательности разностей также образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать разности (третьи разности) и т. Д., то на m-м этапе окажется, что все (m-ые) разности равны между собой. Обратно, если для нек-рой последовательности чисел ее m-ые разности равны между собой, то эта последовательность есть А.

Р. Порядка т. Пользуясь этим свойством, можно строить А. Р. Различных порядков, отправляясь от их разностей. Напр., последовательность единиц. можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел. - как вторые разности последовательности треугольных чисел. - как третьи разности последовательности тетраэдр и ческих чисел. и т. Д. Названия этих чисел объясняются тем, что треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетра-эдрические - в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2). Треугольные числа выражаются формулой а тетраэдрические - формулой Обобщением треугольных чисел являются k-yгольные, или фигурные числа, игравшие важную роль на разных этапах развития арифметики, k-угольные числа имеют вид.

Они образуют А. Р. 2-го порядка, с первым членом 1, вторым членом и вторыми разностями . При получаются треугольные числа, при - квадратные , при - пентагональные (пятиугольные) и т. П. Названия эти поясняются на рис. 3 и 4, где числа шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника, выражаются соответствующими квадратными или пеитагональными числами. Относительно фигурных чисел справедлива следующая теорема, высказанная П. Ферма (P. Fermat) и доказанная впервые О. Коши (A. Cauchy). Любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем kfc-угольных чисел. Лит.:[1] Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. С нем., 2 изд., ч. 1, М.-Л., 1947. Г2] Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939.

БСЭ-2.