Архимедова Полугруппа

1) Линейно упорядоченная полугруппа, все строго положительные (строго отрицательные) элементы к-рой принадлежат одному архимедову классу. Всякая естественно упорядоченная А. П. S(см. Естественно упорядоченный группоид) изоморфна нек-рой подполугруппе одной из следующих полугрупп. Аддитивной полугруппе всех неотрицательных действительных чисел, полугруппе всех действительных чисел интервала (0,1) с обычной упорядоченностью и операцией , полугруппе, состоящей из всех действительных чисел интервала н символа с обычной упорядоченностью и операцией Первый случай имеет место тогда и только тогда, когда S - полугруппа с сокращением. Лит.:[1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер.

С англ., М., 1965. О. А. Иванова. 2) Полугруппа , удовлетворяющая условию. Для любых существует такое натуральное число п, что . При условии полугруппа S наз. Архимедовой слева (справа). Для коммутативных полугрупп все эти понятия эквивалентны. Любая коммутативная полугруппа Sединственным образом разложима в связку А. П. (причем такое разложение совпадает с наиболее дробным разложением S в связку полугрупп). Этот результат по-разному обобщался на некоммутативные полугруппы (см. 11]). Полугруппа Sс идемпотентом будет архимедовой (архимедовой справа) тогда и только тогда, когда она обладает ядром К, причем Ксодержит идемпотент (Кесть правая группа), а факторполугруппа Риса (см. Полугруппа) есть нильполугруппа. А. П. Без идем-потентов труднее поддаются изучению.

Лишь в коммутативном случае здесь дано полное описание в терминах нек-рых конструкций, особенно прозрачное для полугрупп с законом сокращения (см. [2], 4.3. [3]). Лит.:[1] Putcha M.S., "Semigroup Fonun", 1973, v. 6, №. 3, p. 232-39. [2] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. С англ., т. 1-2, М., 1972. [3] Тamurа Т., "Math. Nachr.", 1968, Bd 36, № 5/6, S. 255-87. Л. Н. Шеврин.