Вейля Метод

в теории чисел - метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. Сумм вида где а an,...,a1 - любые действительные числа. В. М. Был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий). Сущность В. М. Заключается в следующем. Сумма (1) возвышается в степень путем последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена . Напр., на первом шаге где суммирования производятся по интервалам длины , является многочленом степени относительно (символы обозначают величины порядка Р). На (n- 1)-м шаге приходят к внутренней сумме где Суммы вида (2) оцениваются с помощью неравенства. В результате получается оценка. Из неравенства (3) выводятся различные оценки суммы (1) в случае, когда будет величиной малой по сравнению с Р.

Эти оценки зависят от точности, с к-рой коэффициент многочлена аппроксимируется рациональными дробями. Пример. Пусть Тогда имеет место неравенство ' В частности, если то В. М. Позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки (3) и ее следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена . Решение Варинга проблемы, данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-вудом (J. Е. Littlewood), опиралось на оценки сумм (1) с помощью В. М. При этом им удалось оценить значения , для к-рых уравнение ( - целое, -целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки (3) на случай функций , не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению нек-рых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич.

Формуле для числа простых чисел, не превосходящих N). Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью В. М., объясняется высокой степенью r0, в к-рую возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование оценок сумм (1) дал И. Ван дер Корпют (J. Van der Corput). С помощью Виноградова метода получается весьма точная оценка сверху для интеграла уже при ( - константа, ). Из этой оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля (1) (с понижающим множителем - константа), недосягаемые для В. М. Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313 - 52. [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. Б. М. Бредихин.