Галуа Теория Колец

137

- обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей, Н - некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N - подгруппа группы Н, . Тогда - подкольцо кольца А. Пусть - подкольцо кольца А . Говорят, что автоморфизм hкольца Асоставляет кольцо поэлементно инвариантным, если для всех . Множество всех таких автоморфизмов обозначается . Пусть Основной объект изучения Г. К. Т.- соответствия. В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае, когда группа Нконечна) здесь не всегда выполняется равенство G(B1) = H(B1), а соответствия 1), 2) и 1), 3) не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представляет интерес выделение таких семейств подколец и семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог теоремы о соответствиях Галуа.

В двух случаях эта задача получила удовлетворительное решение. Первый из них характеризуется требованием "близости" свойств кольца А к свойствам поля (напр., А - тело или полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом), второй - требованием "близости" строения кольца Анад подкольцом Вк строению соответствующей пары в случае, когда А - поле (напр., .В-модуль проективен). Пусть с - обратимый элемент кольца Аи - автоморфизм кольца А, определяемый равенством - подалгебра алгебры А, порожденная обратимыми элементами , для которых Группа Нназ. N - группой, если для всех обратимых . Если А - тело, В - его подтело, причем , А - конечномерное левое векторное пространство над В, то соответствия Галуа и являются обратными друг к другу где Нпринадлежит множеству всех N-подгрупп группы G(B),a D- множеству всех подтел тела Л, содержащих тело В.

Аналогичный результат справедлив и в том случае, когда А - полное кольцо линейных преобразований (однако соответствующая система условий, выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, формулируется несколько сложнее). Пусть далее А - коммутативное кольцо без нетривиальных идемпотентов и . Кольцо Аназ. Конечным нормальным расширением кольца В, если и А- конечно порожденный B-модуль. Кольцо Аможно рассматривать как -модуль, полагая где . Кольцо Аназ. Сепарабельной В-алгеброй, если А - проективный - модуль. Если А - конечное нормальное сепарабельное расширение кольца В, то А - конечно порожденный проективный fi-модуль, группа G(B).конечна и отображения , задают взаимно обратные соответствия между множеством всех подгрупп группы G(B).и множеством всех сепарабельных B-подалгебр алгебры А.

Всякое кольцо Вобладает сепарабельным замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыкания, оставляющих кольцо Впоэлементно инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными на множестве всех замкнутых подгрупп полученной группы и на множестве всех сепарабельных В-подалгебр сепарабельного замыкания кольца В. Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда кольцо Всодержит нетривиальные идемпо-тенты. При этом, однако, ряд основных понятий подвергается существенному изменению. Напр., роль группы Галуа G(B).играет фундаментальный группоид. Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер.

С англ., М., 1961. [2] Сhase S. U., Swed1еr М. Е., Hopf algebras and Galois theory, В.- Hdlb.- N. У., 1969. [3] De Меуеr F., Ingraham E., Separable algebras over commutative rings, В.- Hdlb.-N. Y., 1971. [4] Magid A. R., The separable Galois theory of commutative rings, N. Y., 1974. К. И. Бейдар, А. В. Михалев.

Значения в других словарях
Галуа Теории Обратная Задача

- задача построения конечного нормального расширения для данного поля kс заданной Галуа группой (см. Галуа теория), а также выяснения условий, обеспечивающих существование или отсутствие такого расширения над полем k. Если kесть поле рациональных чисел, то эта задача превращается в задачу построения нормального поля алгсбраич. Чисел с заданной группой Галуа и "водится к отысканию алгебраич. Уравнения над kс данной группой Галуа. Такие уравнения существуют для любой симметрической группы, а т..

Галуа Теория

Созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным. Устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи других, более простых алгебраических уравнений (обычно низших степеней).. ..

Галуа Топологическая Группа

группа Галуа, снабженная топологией Крулля. Базис фильтра этой топологии состоит из нормальных делителей конечного индекса. Если - конечное расширение Галуа, то топология его группы Галуа дискретна. Если поле L - объединение конечных расширений Галуа К;поля К, то Г. Т. Г. Есть проективный предел конечных групп с дискретной топологией. В этом случае Г. Т. Г. Является проконечной группой и тем самым вполне несвязной компактной топологич. Группой. Если - поле инвариантов для группы , то подгр..

Гальтона - Ватсона Процесс

Ветвящийся процесс с одним типом частиц и с дискретным временем. Назван по имени Ф. Гальтона (F. Gallon) и Дж. Ватсона (G. Watson), впервые занимавшихся в 1873 задачей о вырождении фамилии. Б. А. Севастьянов. ..

Дополнительный поиск Галуа Теория Колец Галуа Теория Колец

Добавить комментарий
Комментарии
Комментариев пока нет

На нашем сайте Вы найдете значение "Галуа Теория Колец" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Галуа Теория Колец, различные варианты толкований, скрытый смысл.

Первая буква "Г". Общая длина 18 символа