Гармоническая Мажоранта

наименьшая гармоническая мажоранта семейства - нижняя огибающая семейства всех супергармонич. Мажорант vk , семейства субгармонич. Функций на открытом множестве Dевклидова пространства т. Е. Г. М. либо является гармонич. Функцией, либо В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве иногда используется также понятие наилучшей Г. М. - решения обобщенной задачи Дирихле для Dпо значениям ина границе Всегда причем справедлива формула [1] где - ассоциированная с имера, - (обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая н наименьшая Г. М. Совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет -меру нуль. Соответственно, если - семейство супергармонич.

Функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта семейства определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. Минорант семейства . При этом есть наименьшая Г. М. Для семейства . Другую постановку вопроса о Г. М., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. В ст. Гармоническая функция. Лит.:[l] Frostman О., Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec qvielques applications a la theorie des fonctions, Lund, 1935. [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. С франц., М., 1964, гл. 2, 9. Е.