Двумерное Многообразие Ограниченной Кривизны

- метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества. Частным случаем Д. М. О. К. Являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. М. О. К. Может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов. Пусть М- двумерное риманово многообразие, К(х)- гауссова кривизна Мв точке х. А (Е)- площадь множества для кривизна. абсолютная кривизна. положительная часть кривизны множества Е.

где К +(x) = max {0, К(х)}. Если х и у- две точки риманова пространства М, то r( х, у)- нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. Естественной метрикой риманова пространства М. Пусть М- произвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r - риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой. Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. М. О. К., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик rn, n=1, 2, . ., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества будет равномерно (т.

Е. Функции rn( х, у )сходятся к функции r( х, у )равномерно на множестве ) и последовательность |w п|. (A), n=1, 2, . ., ограничена, где |w п| - абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. М. О. К. Может быть определено аксиоматически. В части достаточности условия данного здесь определения Д. М. О. К. Могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. М. О. К., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где и последовательность римановых метрик r п, n=1, 2, ..., определенных на Uтаким образом, что равномерно на V, и последовательность {w п+(V)} ограничена. Для всякого Д. М. О. К. Определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)- площадь и, соответственно, кривизна множества.

В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от.