Двучленное Сравнение

- алгебраическое сравнение вида (1) где а, т- взаимно простые целые числа, а - натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. Вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. Невычетом степени ппо модулю т. Вопрос о разрешимости Д. С. По составному модулю тсводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р(см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler). Для разрешимости сравнения необходимо, чтобы выполнялось условие где d - наибольший общий делитель чисел пи р-1. При выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно d решений. Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2, ..., р-1 имеется в точности (р-1)/d вычетов и (d-1)(d-1)/d невычетов степени ппо модулю р.

Значительно сложнее обратная задача. Найти все модули р, по к-рым заданное число аявляется вычетом (или невычетом) степени Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения x2=a(mod p)зависит от того, принадлежит или нет простой модуль рнекоторым арифметич. Прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801. См. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i].

Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения z4=w(mod p)в кольце Z[i]при заданном зависит от того, каков вычет числа рпо нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i]. Новый этап в изучении Д. С. И их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество Rквадратичных вычетов по простому модулю рсреди чисел 1, 2, ...,Q, выражается формулой где Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений сравнения когда упробегает неполную систему вычетов 1<y<Q. Лит.:[1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел. М.-Л., 1937. [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972. [3] его же, Избр.

Труды, М., 1952. [4] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер.1, М., 1959. С. А. Степанов..