Желоб

- двусвязная поверхность Sтипа кольца, содержащая внутри себя плоскую замкнутую кривую L, плоскость Рк-рой во всех точках Lкасается S. Вдоль Lгауссова кривизна КЖ. Sобращается в нуль. Если при этом Lразделяет Ж. Sна две части, на каждой из к-рых Кзнакопостоянна, то соответствующие части Sназ. Положительным и отрицательным полужелобами. Примером Ж. Является узкая полоска тора вдоль одной из его замкнутых параболических параллелей. Ж. Занимает промежуточное положение между объектами геометрии "в целом" и геометрии "в малом", так как он, заключая в себе определенную замкнутую кривую L, не может быть сколь угодно малым, и в то же время размеры его в трансверсальных к Lнаправлениях могут быть сколь угодно малыми. Интерес к изучению Ж.

Вызывается тем, что достаточно узкая полоска поверхностей знакопеременной кривизны вдоль замкнутой параболич. Линии часто представляет собой Ж., и поэтому знание свойств Ж. При различных деформациях позволяет иногда получать информацию о соответствующих свойствах всей поверхности "в целом". Наиболее подробно исследованы так наз. Плоский Ж. (для к-рого кривая Lявляется выпуклой, а сам Ж. Sрасполагается по одну сторону от Р, имея с Ркасание 1-го порядка) и Ж. Вращения (когда Lявляется параллелью поверхности вращения). Для аналитич. Лоских Ж. Доказана их жесткость относительно аналитических бесконечно малых изгибаний 2-го порядка, а для Ж. Вращения изучение их бесконечно малых изгибаний 1-го и 2-го порядков распространено до класса регулярности С 1 [3].

С точки зрения дифференциальных уравнений исследование Ж. Сводится к изучению уравнений смешанного типа. Лит.:[1] Ефимов Н. В., "Успехи матем. Наук", т. 3, в. 2, 1948, с. 47-158. [2] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. [3} Сабитов И. X., "Матем. Сб.", 1975, т. 98, № 1, с. 113-29. 1976, т. 99, № 1, С. 49 - 57. И. X. Сабитов..