Жесткость

- свойство подмногообразия Мв римановом пространстве V, заключающееся в том, что любая его избметрич. Вариация (бесконечно малое изгибание )является тривиальной, т. Е. Соответствующее поле скоростей, z на М индуцируется полем Киллинга вектораz на М:где i:- изо метрическое погружение М в V. Вопрос о Ж. Подмногообразий - по существу вопрос о единственности решения системы дифференциальных уравнений, являющихся линеаризацией основной системы уравнений теории поверхностей - почти не исследован в случае, когда dim M>2 и dim V>3, однако и в простейшей ситуации (dim M=dim V-1=2) более или менее законченную теорию удается построить лишь для поверхностей положительной кривизны, расположенных в пространствах постоянной кривизны (см.

Векуа метод). О Ж. Поверхностей неположительной и переменной кривизны известны лишь отдельные результаты, причем на Ж. Поверхности, помимо ее пространственной формы, оказивает влияние степень регулярности рассматриваемых деформаций. Как правило, незамкнутая поверхность нежесткая, однако. 1) построены примеры поверхностей с уплощения точкой т, любая окрестность к-рой является жесткой или допускает бесконечно малые изгибания ограниченной регулярности. 2) существуют жесткие незамкнутые выпуклые поверхности с полной кривизной, равной 4p, окаймленные плоскими параболич. Кривыми (части поверхностей типа Т). На Ж. Поверхности влияет то, насколько ограничена подвижность края поверхности или линий внутри ее. Так, напр., 1) сферич.

Сегмент S, скользящий по плоскости, будет жестким или нет в зависимости от того, меньше или больше S полусферы. 2) кусок гиперболич. Параболоида с двумя пересекающимися неподвижными образующими - жесткий. 3) кусок плоскости с закрепленным краем - нежесткий. Замкнутые поверхности изучены с точки зрения Ж. Более детально. Так, напр., 1) замкнутая выпуклая поверхность - жесткая (см. Бляшке- Вейля формула, а также [2]). 2) в то же время есть и нежесткие замкнутые поверхности вращения знакопеременной кривизны. 3) тор - жесткий. 4) замкнутый цилиндроид жесткий тогда и только тогда,когда площадь среднего сечения где S1 и S2- площади верхнего и нижнего оснований. 5) метрич. Произведение kдвумерных сфер является жестким в евклидовом пространстве E3k и нежестким в Е 3k+1, 1>0.

Так определенное понятие Ж. Иногда ваз. Ж. 1-го порядка, вводится также Ж. 2-го и высших порядков. Понятие Ж. Переносится на нерегулярные поверхности, напр, многогранники, однако и там основные результаты касаются лишь выпуклых многогранников (см. Коши теорема о многогранниках), и на поверхности в римановом пространстве, напр, замкнутые поверхности любого рода с положительной внешней кривизной - жесткие. Лит.:[1] Ефимов Н. В., "Успехи матем. Наук", 1948, т. 3, М 2, с. 47-158. [2] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969. [3] Кон - Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной Геометрии в целом, М., 1959. [4] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959. [5] Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л., 1950.

[6] Фоменко В. Т., "Матем. Заметки", 1974, т. 16, в. 3, с. 441-45. М. И. Войцехоеский..