Жордана - Гёльдера Теорема

если группа обладает композиционными рядами, то любые два ее композиционных ряда изоморфны. К. Жордан [1], [2] и О. Гёльдер [3], занимаясь вопросом о разрешимости уравнений в радикалах (см. Галуа теория), исследовали группы подстановок. Для этих групп К. Жордан ввел понятие композиционного и главного рядов и доказал, что индексы двух одноименных рядов (т. Е. Индексы подгруппы Gi в Gi+1), с точностью до расположения, одинаковы. Иными словами, было доказано совпадение последовательностей порядков факторов двух композиционных (главных) рядов с точностью до расположения. О. Гёльдер доказал изоморфизм соответствующих факторов. О. Шрейером [4] было доказано еще более общее утверждение. Любые два нормальных ряда произвольной группы обладают изоморфными уплотнениями (теорема Шрейера).

Ж.- Г. Т. Была доказана также для групп с произвольной областью операторов (Э. Нётер, Е. Noether, В. Крулль, W. Krull), откуда, в частности, вытекали аналогичные теоремы для характеристических и вполне характеристич. Рядов. В дальнейшем обобщения Ж.- Г. Т. Пошли по следующим направлениям. 1) Были получены обобщения теорем Шрейера и Жордана - Гёльдера для бесконечных нормальных систем и, в частности, вполне упорядоченных нормальных и композиционных рядов, а также доказано, что все возрастающие нормальные ряды группы с простыми факторами изоморфны (эти ряды могут и не быть композиционными) (см. [5]). 2) Ж.- Г. Т. Была перенесена на ряды идеалов колец и других алгебраич. Образований. Эти направления объединились рядом результатов для W-групп (мультиоператорных групп), W-алгебр и для универсальных алгебр с одноэлементной подалгеброй и перестановочными конгруэнциями (см.

[5] - [8]). 3) Рассматривались различные способы обобщения Ж.- Г. Т. На языке теории решеток и частично упорядоченных множеств. Получено обобщение теоремы Шрейера для цепочек элементов дедекиндовых решеток. В ряде работ для определения нормального ряда элементов решетки вводилось дополнительное отношение нормальности или операция умножения (см. [5], [6], [9] - [И]). 4) Были получены обобщения Ж.- Г. Т. И теоремы Шрейера для нормальных категорий (см. [8]). Лит.:[1] Jоrdan С, "С. R. Acad. Sci.", 1869, t. 68, p. 257. [2] eго же, Traite des substitutions et des equations algebriques, P., 1870 (2 ed., 1957). [3] Holder O., "Math. Ann.", 1889, Bd 34, S. 26-56. [4] Sсhreier O., "Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg", 1928, Bd 6, № 3-4, S. 300-02. [5] Курош А.

Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967. [6] Биркгоф Г., Теория структур, пер. С англ., М., 1952. [7] Кон П., Универсальная алгебра, пер. С англ., М., 1968. [8] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. [9] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 237-74. [10] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1966, М., 1968, с. 109- 136. 1968, М., 1970, с. 101-54. [11] Фофанова Т. С, в сб. Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1974, с. 99 - 108. И. В. Стеллецкий..