Замкнутая Система

элементов, замкнутая система функций,- система элементов jn некоторого линейного нормированного пространства Нтакая, что любой элемент можно сколь угодно точно приблизить в метрике пространства Нконечной линейной комбинацией элементов из этой системы, т. Е. Для всякого e>0 найдутся такие числа с 0, с 1 ..., с п, что выполняется неравенство Напр., система степеней { х п}, n=0, 1, 2, ..., замкнута в пространстве Lp[a, b, dm(x)]. Функций, суммируемых в степени на конечном отрезке [ а, b]с интегральным весом m(x), причем неравенство (1) в этом случае имеет вид где Qn(x)- многочлен степени п. Обычно рассматривается случай, когда {jn} - ортонормированная последовательность элементов в гильбертовом пространстве Н.*Тогда условие замкнутости (1) эквивалентно выполнению для всех элементов равенств где { а п }- коэффициенты Фурье элемента f по системе {jn}.

В случае тригонометрич. Системы функций условие (3) наз. Равенством Парсеваля. Оно имеет вид Это равенство рассматривали М. Парсеваль (М. Раrseval, 1806), Ш. Балле Пуссен (Ch. La Vallee Poussin, 1890), А. Гурвиц (A. Hurwitz, 1901-03). Строгое его доказательство дал (в случае, когда f(x)ограничена) А. М. Ляпунов (1896). Общий случай условия замкнутости (3) впервые подробно исследовал В. А. Стеклов (1898) в связи с решением нек-рых задач математич. Физики. Введя термин "замкнутость", В. А. Стеклов рассмотрел с этой точки зрения различные конкретные системы ортогональных функций, и в частности фундаментальные решения уравнения Штурма - Лиувилля (см. Штурма- Лиувилля задача). Поэтому равенство (3) часто наз. Условием замкнутости Парсеваля - Стеклова.

Понятие замкнутости широко применяется в теории ортогональных многочленов. Если отрезок ортогональности конечен, то система ортогональных многочленов замкнута при любом весе. В случае бесконечного интервала ортогональности В. А. Стеклов установил ряд условий на весовую функцию, достаточных для замкнутости соответствующей системы ортогональных многочленов. В частности, он доказал замкнутость систем многочленов Эрмита и Лагерра. Одно из достаточных условий Стеклова в случав интервала заключается в том, что существует такая последовательность положительных чисел {а п), для к-рой выполняются соотношения где h(x)- дифференциальный вес на интервале (т. Е. Dm(x) = h(x)dx). Для всего интервала достаточное условие состоит в том, чтобы дифференциальный вес h(х)был почти всюду положителен п удовлетворял неравенству Это условие в нек-ром смысле близко к необходимому, ибо, как показал еще В.

А. Стеклов, система многочленов незамкнута в случае весовой функции вида Полное решение вопроса об условиях замкнутости системы многочленов в пространстве L2[a, b, dm(x)]в случае бесконечного интервала дал М. Рис (М. Riesz, 1922). Он доказал, что для замкнутости системы многочленов в L2 [a, b, dm(x)]необходимо и достаточно, чтобы либо соответствующая моментов проблема была определенной, либо в случае неопределенности функция m(х)была так наз. N-экстремальным решением проблемы моментов. С понятием замкнутости тесно связано понятие полноты системы функций, к-рое заключается в том, что из равенства нулю линейного ограниченного функционала f на всех элементах системы {j п} следует условие f=0. В гильбертовом пространстве эти два понятия эквивалентны.

Полнота системы {j п (х)} в пространстве Lp эквивалентна замкнутости этой же системы в Lq, где В комплексной области подробно изучены аналоги неравенств типа (1) или (2) для систем многочленов и более общих систем функций (см. Ортогональные многочлены в комплексной области). Лит.:[1]Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. Снем.,М., 1958. [2] Геронимус Я.