Зигеля Метод

- метод исследования арифметич. Свойств значений в алгебраич. Точках E-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из C(z). Был предложен К. Зигелем [1]. Целая функция наз. Е-ф ункцией, если все коэффициенты с п принадлежат нек-рому алгебраич. Полю конечной степени, причем для каждого e>0 максимум модулей, сопряженных с с n, есть О( п гп )и существует последовательность целых рациональных чисел qn=О(nen) таких, что qnck есть целое алгебраич. Число для k=0,1, ..., п. Таковы, напр., е z, sin z, функция Бесселя J0(z). Пусть [a, 0]=1, а [a, п]=(a+п-1) [a, п-1], n=1, 2, . Если a1, . , al и b1, ..., b т- рациональные числа, bk неравно -1, -2, . И т-l=t>0, то функция является E-функцией.

Она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка тс коэффициентами из C(z). Основной результат К. Зигеля относится к значениям функции где J(z) - функция Бесселя. Если X- рациональное число,то при любом алгебраическом числа Кl(a). И К'l(a). Алгебраически независимы над Q. В 1949 К. Зигель придал своему методу общую форму, однако условия, к-рым должны были удовлетворять E-функции f1(z), ..., fm(z)для того, чтобы можно было утверждать, что их значения алгебраически независимы, оказались очень трудно проверяемыми. И это не позволило установить какие-либо новые конкретные результаты. Дальнейшее развитие и обобщение 3. М. Получил в работах А. Б. Шидловского (см. [2] - [3]). Пусть совокупность E-функций f1(z), ..., fm(z)является решением системы дифференциальных уравнений и алгебраич.

Число a. Отлично от нуля и особых точек системы (1). Тогда, для того чтобы тчисел f1(a), ..., fm(a). Были алгебраически независимы над полем Q, необходимо и достаточно, чтобы функции f1(z), ..., fm(z) были алгебраически независимы над C(z). Из этой теоремы, в частности, следует трансцендентность всех чисел fk(a), если f1(z), ..., fm(z)алгебраически независимы, а также трансцендентность отличных от нуля и полюсов системы (1) А-точек функций fk(z)при алгебраическом А;она позволила получить многочисленные результаты, относящиеся к конкретным Е- функциям, доказать алгебраич. Независимость значений E-функций, удовлетворяющих линейным однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям порядка большего двух.

Напр., для функции удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению порядка кс коэффициентами из C(z), справедливо следующее утверждение. При любом алгебраическом r(r-1)/2 чисел 1=0,.1, ..., k-1, k=1,2, ..., r алгебраически независимы над Q. При тех же условиях максимальное количество алгебраически независимых над Qчисел среди f1 (а), . ., fm(a) равно максимальному количеству алгебраически независимых над С (z) функций среди f1(z),..., fm(z). Если f1(z), . ., fl(z)- алгебраически независимые над С (z) E -функции, удовлетворяющие системе (1), то для всех, кроме конечного числа, точек а числа f1(a), ..., fl(a)алгебраически независимы над Q. В каждом конкретном случае исключительные точки могут быть определены.

Этими теоремами решаются, по существу, все задачи общего характера о трансцендентности и алгебраич. Независимости значений E-функций в алгебраических точках. 3. М. Позволяет оценивать меру алгебраич. Независимости чисел f1(a), ..., fm(a), придав тем самым результатам количественную форму. Если функции f1(z), ..., fm{z )алгебраически независимы, то Ф(f1(a), ..., fm(a). где С>0 не зависит от H, а у >0 зависит только от ти степени алгебраич. Числа а. Лит.:[1] Siegе 1 С. L., "Abhandl. Dtsch. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.", 1929, № 1, p. 1-41. [2] Шидловский А. Б., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1959, т. 23, №1, с. 35-66. [3] его же, там же, 1962, т. 26, № 6, с. 877-910. [4] его же, "Тр. Матем. Ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 169-202. [5] Lang S., "Mathem.", 1962, v.

9, с. 157-61. [6] Фельдман Н. И., Шидловский А. Б.", "Успехи матем. Наук", 1967, т. 22, в. 3, с. 1-81. Ю. В. Нестеренпо..