Идеальное Число

- элемент полугруппы D дивизоров кольца Ацелых чисел нек-рого поля алгебраич. Чисел. Полугруппа D- коммутативная свободная полугруппа с единицей. Ее свободные образующие наз. Простыми идеальными числами. В современной терминологии И. Ч. Наз. Целыми дивизорами кольца А. Они допускают естественное отождествление с идеалами кольца А. И. Ч. Были введены в связи с отсутствием однозначности разложения на простые множители в кольцах целых алгебраич. Чисел. Для каждого разложение соответствующего дивизора j(а). В произведение простых И. Ч. Можно рассматривать как нек-рую замену однозначности разложения на простые множители в случае, когда такое разложение в кольце А неоднозначно. Напр., кольцо Авсех целых чисел поля состоит из всех чисел вида а+bс целыми аи b.

В этом кольце число 6 допускает два различных разложения на множители. причем числа 2, 3, и - простые попарно неассоциированные элементы кольца А. Таким образом, разложение на простые множители в Анеоднозначно. Однако в полугруппе Dэлементы j(2), j(3), j(1+), ф(1-) не будут простыми, а именно. где - простые И. Ч. В D. Таким образом, два разложения числа 6 на простые множители в кольце Апродолжаются до одного и того же разложения в D. Понятие И. Ч. Было введено Э. Куммером (Е. Rummer) в связи с исследованием арифметики круговых полей (см. [1] - [2]). Пусть K=Q(z) - поле деления круга на р частей и А= Z(x) - кольцо целых чисел поля AT. И. Ч. Для кольца A определялись как произведение простых И. Ч., а эти последние - как "идеальные" простые делители простых натуральных чисел.

Для построения всех простых И. Ч., делящих заданное простое натуральное q, использовалась Куммера теорема. Пользуясь тем, что Аимеет степенной базис 1, x, x2, . .,xp-2 над Z, Э. Куммер рассматривал разложение кругового многочлена F р (Х). В кольце Z/qZ[X]. И. Ч., делящими число q, объявлялись элементы, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми множителями F р (Х)в Z/qZ[X](несколько другого подхода требовал случай p = q). Специальный метод применялся для определения показателя степени, с к-рым данное простое И. Ч. Входит в данное Аналогичный метод он разработал для создания теории делимости в полях вида Q(x,), где Перенесение теории И. Ч. На случай произвольного поля алгебраических чисел принадлежит в основном Л.

Кронекеру (L. Kronecker) и Р. Дедекинду (R. Dedekind). Уже в их работах наметилось разделение теории И. Ч. На теорию дивизоров (подход Л. Кронекера) и теорию идеалов. Р. Дедекинд каждому И. Ч. Взаимно однозначно сопоставлял идеал кольца А, к-рый определялся им как подмножество в А, состоящее из О и всех таких а, что аделится на это И. Ч. При этом, если а 1,. ., а п- образующие, идеала I, то соответствующее I И. Ч. Является наибольшим общим делителем И. Ч. J(a1), . ., j(an). Впоследствии понятие идеала было распространено на случай произвольного кольца А. Кольца, для к-рых понятия идеала и дивизора совпадают, наз. Теперь дедекиндовыми. Лит.:[1] Kummer E., "J. Reine und angew. Math.", 1847, Bd 35, S. 319-26, 327-67. [2] его же, "J. Math, pure.s etappl.", 1851, t.

16, p. 377-498. [3] Edward HaroldM., "Arch. Hist. Exact. Sci.", 1975, v. 14, № 3, p. 219-36. L4] Бурбаки H., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. [5] его же, Очерки по истории математики, пер. С франц., М., 1963. Л. В. Кузьмин..