Изгибание На Главном Основании

- изгибание Ft поверхности F=F0, при к-ром направления экстремального изгиба остаются неизменными. Сеть, образованная линиями, имеющими направление экстремального изгиба, является сопряженной на каждой из поверхностей Ft и наз. Главным основанием изгибания. Напр., геликоид имеет бесконечное число главных оснований. Вращения поверхности и каналовые поверхности допускают И. На г. О., одно из семейств к-рого состоит из геодезич. Линий (см. Также Фосса поверхности). Задача исследования И. На г. О. Была поставлена К. М. Петерсоном [1] в 1866. Он же установил, что если нек-рая поверхность Fизометрично -преобразована в две другие поверхности F' и F" так, что направления экстремального изгиба (и, следовательно, основание изгибания) F в F' совпадают с направлениями экстремального изгиба Fв F", то существует изгибание Ft поверхности F, включающее F' и F", с теми же направлениями экстремального изгиба.

Другими словами, если нек-рая сопряженная сеть на Fслужит основанием двух различных ее изгибаний F' и F", то она является главным основанием изгибания. Если известны поверхности F, F', F", то все остальные поверхности Ft, получаемые при изгибании Fна главном основании, определяются теоремой. Пусть x.- нормальная кривизна Fв направлении одного из двух семейств главного основания а в произвольной точке а x', x", xt- нормальные кривизны поверхностей F', F" и Ft в соответствующих точках и направлениях, тогда двойное отношение t=(х 2, x'2,x"2, x2t )сохраняет постоянную величину для всех положений Мна F. Поверхность, допускающая И. На г. О., может быть охарактеризована только сферическим изображением главного основания.

Уравнения, описывающие И. На г. О., преобразуются так, что содержат только коэффициенты линейного элемента сферич. Изображения поверхности и получают вид. (уравнения Коссера), где - символы Кристоффеля третьей квадратичной формы поверхности, а дифференцирование ведется вдоль координатных линий и, v, составляющих главное основание изгибания. Сферич. Изображение главного основания изгибания совпадает со сферич. Изображением асимптотич. Линий Бианки поверхности, к-рая является вращений индикатрисой (или присоединенной поверхностью) бесконечно малого изгибания F, соответствующего И. На г. О., а также с изображением в смысле Клиффорда асимптотич. Линий нек-рой поверхности в эллиптич. Пространстве (являющейся поворотов диаграммой И.

На г. О. Поверхности F). Не все поверхности обладают главным основанием, т. Е. Поверхности, допускающие И. На г. О., образуют специальный класс поверхностей [4]. Обобщением И. На г. О. Является изгибание на кинематическом основании, к-рое определяется тем, что коэффициенты второй квадратичной формы bij удовлетворяют уравнению bijAij=c, где Aij -некоторый невырожденный тензор, с - функция, зависящая от метрики gij поверхности Fи ее производных. Лит.:[1] Петерсон К. М., "Матем. Сб.", 1866, т. 1, с. 391-438. [2] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 2, М.- Л., 1948. [3] Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.- Л., 1937. [4] Лузин Н. Н., "Изв. АН СССР. Отдел, техн. Наук", 1939, № 2, с. 81 - 106.

№ 7, с. 115-32. № 10, с. 65-84. М. И. Войцеховский..