Измеримое Множество

измельчающееся семейство множест в,- множество Fв топологич. Пространстве Xтакое, что для любой точки и любой ее окрестности О х найдется обладающее свойством. Объединение всех элементов семейства у, содержащих хи наз. Звездой Stg (x) точки хотносительно семейства у, содержится в О х. Важны И. Открытых покрытий. Они играют существенную роль в теория размерности, в теории бикомпактных расширений, теории равномерных пространств, теории непрерывных отображений, метризационной проблематике. ..

- 1) В первоначальном понимании И. Ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е а точек х, для к-рых f(x)<a есть измеримое множество (по Лебегу). И. Ф. На отрезке [ х 1, х 2]может быть сделана непрерывной на [x1, x2]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры. Это - так наз. С-свойство И. Ф. (Н. Н. Лузин, 1913). 2) И. Ф. На пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств Ав X. Если A ест..

- отображение f измеримого пространства в измеримое пространство такое, что В случае, когда есть а-алгебра, а - действительная прямая с s-алгеброй А 2 борелевских множеств, понятие И. О. Сводится к понятию измеримой функции (однако, когда есть лишь s-кольцо, определение измеримой функции обычно видоизменяется в связи с нуждами теории интегрирования). Суперпозиция И. О. Измерима. Если - кольца, и для любого Виз нек-рого класса множеств такого, что кольцо, им порожденное, совпадает с то f изм..

(X, А) - множество Xс выделенным кольцом или s-кольцом (в. Частности, алгеброй или а-алгеброй) его подмножеств. Примеры. Rn с кольцом измеримых по Жордану (см. Жордана мера )множеств, Rn с s-кольцом множеств. Конечной Лебега мерой, топологич. Пространство Ес а-алгеброй борелевских множеств. Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. С англ., М., 1953. В. В. Сазонов.. ..