Изометрический Оператор

- отображение Uметрич. Пространства (X,rX). В метрич. Пространство (Y, rY). Такое, что для любых Если Xи Y - действительные линейные нормированные пространства, U(X)=Y и U(0)=0, то U- линейный оператор. И. О. Uотображает Xна U(X)взаимно однозначно, так что существует обратный оператор U-1, также являющийся И. О. Оператор, сопряженный с линейным И. О., действующим из одного линейного нормированного пространства в другое, также будет изометрическим. Линейный И. О., отображающий Xна все У, наз. Унитарным оператором. Условием унитарности линейного оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н, является равенство U*=U-1. Спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности, и имеет место представление где {Еj}- соответствующее разложение единицы.

И. О., определенный на подпространстве гильбертова пространства со значениями в таком же пространстве, может быть продолжен до унитарного, если ортогональные дополнения области его определения и области его значений имеют одинаковую размерность. Каждому симметрич. Оператору Ас областью определения соответствует И. О. наз. преобразованием Кэли оператора А. Если А- самосопряженный оператор, то оператор UA унитарен. Операторы Аи В с общей областью определения Dназ. Метрически равными, если В=UA, где U- И. О., то есть если || Вx||= ||Ax|| для всех Такие операторы обладают рядом общих свойств. Для любого ограниченного линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, существует один и только один положительный метрически равный ему оператор, определяемый равенством Лит.:[1] Ахиезер Н.

И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. [2] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965. [3] Мazur S., Ulam S., "С.r. Acad. Sci.", 1932, t. 194, p. 946 - 48. В. И. Соболев..