Изопериметрическое Неравенство Классическое

- неравенство между объемом Vобласти в евклидовом пространстве Rn, и (n- 1)-мерной площадью F, ограничивающей область гиперповерхности. где vn- объем единичного re-мерного шара. Равенство в И. Н. К. Имеет место только для шара. И. Н. К. Дает решение иаопериметрической задачи. Для n=2, 3 И. Н. К. Известно с глубокой древности. Строгое доказательство И. Н. К. Для n=2 дано Ф. Эдлером (F. Edler) в 1882, для га-3 - Г. Шварцем (Н. Schwarz) в 1890 и для всех - Л. А. Люстерциком в 1935 и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1939 (см. [1], [2], [3]). В двумерном случае есть много доказательств И. Н. К. (см. [4]), при n>2 известно лишь два подхода. Первый - метод симметризации, предложенный Я. Штейнером (J. Steiner). Э. Шмидт, используя этот метод, получил аналоги И. Н. К. (и неравенства Брунна - Минковского) для сферического и гиперболического га-мерных пространств (см.

[5]). Второй подход состоит в сведении И. Н. К. К Брунна - Минковского неравенству (см. Брунна- Минковского теорема). И использовании метода пропорционального деления объемов. При таком подходе естественно возникает более общее неравенство для объемов V(A), V(B)двух множеств и площади F(A, В )по Минковскому множества Апо отношению к В. Неравенство (*) допускает интерпретацию как И. Н. К. В пространстве Минковского. Равенство при фиксированном "шаре" Минковского В достигается, вообще говоря, не для единственного тела А, причем эти тела отличны от "шара" (см. [6]). Имеется ряд обобщений И. Н. К., при к-рых рассматриваются не области с кусочно гладкой границей, а более широкие классы множеств, причем площадь границы понимается в обобщенном смысле (площадь Минковского, площадь но Лебегу, периметр множества по Каччопполи - Де Джорджи, масса потока, см.

[7], [8]). И. Н. К. Остается справедливым во всех этих случаях, а также для гиперповерхностей с самопересечениями и соответствующего им ориентированного объема (см. [9]). Эти обобщения получаются из И. Н. К. Предельным переходом при различных вариантах понятия сходимости. Для изопериметрич. Разности Fn-nnvnVn-1, как и для изопериметрич. Отношения FnV1-n, известны оценки, усиливающие И. Н. К. (см. [2]). Часть таких оценок получена для множеств специального вида, в первую очередь для выпуклых множеств и многогранников (см. [10]). Напр., Боннезена неравенство для плоских фигур. где r - радиус наибольшего вписанного круга, и его обобщение (см. [11]) для выпуклых тел в Rn. Здесь q=max {l|lBможно поместить в А}. Относительная изопериметрич.

Разность выпуклых тел Fn(A, B) - nnVn-1(A)V(B) может служить мерой их негомотетичности (см. [12]). Это используется, напр., при доказательстве теоремы устойчивости в проблеме Минковского (см. [13]). Об обобщениях И. Н. К. На пространства переменной кривизны и родственных им неравенствах см. Ст. Изопериметрическое неравенство. Лит.:[1] Крыжановский Д. А., Изопериметры, 3 изд., М., 1959. [2] Хадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. С нем., М., 1966. [3] Люстерник Л. А., "Успехи матем. Наук", 1936, в. 2, с. 47-54. [4] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. С нем., М., 1957. [5] Schmidt E., "Math. Nachr.", 1948, Bd 1, S. 81 - 157. [6] Busemmann H., "Amer. J. Math.", 1949, v. 71, p. 743-62. [7] De Giorgi E., "Atti Accad.

Naz. Lincei. Mem. Cl. Sci fis., mat. E natur. Ser. 8", 1958, № 5, № 2, p. 33-44. [8] Федерер Г., Флеминг У. X., в сб. Целочисленные потоки и минимальные поверхности, М., 1973, с. 9-90. [9] Rado Т., "Trans. Amer. Math. Soc", 1947, v. 61, Л"" 3, p. 530-55. [10] Tот Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, пер. С нем., М., 1958. [11] Дискант В. И., "Докл. АН СССР", 1973, т. 213, № 3, с. 519 - 21. [12] его же, "Сиб. Матем. Журнал", 1972, т. 13, № 4, с. 767-72. [13] Волков Ю. А., "Вестн. Ленигр. Ун-та. Сер. Матем. И астроном.", 1963, в. 1, с. 33-43. Ю. Д. Бурого..