Изотропии Представление

- естественное линейное представление изотропии группы в касательном пространстве к многообразию. Если G- группа дифференцируемых преобразований многообразия Ми Gx- соответствующая группа изотропии в точке хО М, то И. П. Isx. Сопоставляет каждому hО Gx дифференциал lsx(h) = dhx преобразования hв точке х. Образ И. П. Isx(Gx). Наз. Линейной группой изотропии в точке х. В случае, когда G- группа Ли со счетной базой, гладко и транзитивно действующая на М, касательное пространство Т x М естественно отождествляется с пространством g/gx , где - алгебры Ли групп И. П. Isx отождествляется при этом с представлением к-рое индуцируется ограничением присоединенного представления AdG группы Gна Gx. Если однородное пространство Мредуктивно, т.

Е. G=gx+m, где m- подпространство, инвариантное относительно AdG(Gx), то Т х М отождествляется с т,a Isx -с представлением (см. [3]). В этом случае И. П. Является точным, если Gдействует эффективно. И. П. И линейная группа изотропии играют важную роль при изучении инвариантных объектов на однородных пространствах. Инвариантные тензорные поля на однородном пространстве Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с тензорами в пространстве Т x М, инвариантными относительно И. П. В частности, М обладает римановой инвариантной метрикой тогда и только тогда, когда в Т x М существует евклидова метрика, инвариантная относительно линейной группы изотропии. Существование на однородном пространстве Мположительной инвариантной меры равносильно условию |det A| = l для всех Однородное пространство ориентируемо тогда и только тогда, когда Инвариантные линейные связности на Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями обладающими следующими свойствами.

Обобщением понятия И. П. Является понятие И. П. Порядка r. Это гомоморфизм группы Gx в группу Lr( Т x М). Обратимых r-струй диффеоморфизмов пространства Т x М, переводящих в себя нуль. Это понятие применяется при изучении инвариантных объектов высших порядков. Лит.:[1] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. С нем., М., 1975. L2] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. С англ., М., 1964. 13] Рашевский П. К., в кн. Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике, в. 9, М.- Л.,1952, с. 49-74. [4] К артан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. С франц., М., 1949. А. Л. Онищик..