Лагранжа Множители

переменные, с помощью к-рых строится Лагранжа функция при исследовании задач на условный экстремум. Использование Л. М. И функции Лагранжа позволяет единообразным способом получать необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. Метод получения необходимых условий в задаче определения экстремума функции при ограничениях заключающийся в использовании Л. М. Построении функции Лагранжа и приравнивании к нулю ее частных производных по xj и наз. Методом Лагранжа. В этом методе оптимальное значение находится вместе с соответствующим ему вектором Л. М. из решения системы m+n уравнений. Л. М. Допускают следующую интерпретацию [1]. Пусть доставляет относительный экстремум функции (1), при условиях (2).

Значения зависят от значений bi - правых частей ограничений (2). Формулируются достаточно общие предположения, при к-рых все являются непрерывно дифференцируемыми функциями вектора b=(b1, ..., b т).в нек-рой e-окрестности его значения, задаваемого в (2). При этих предположениях непрерывно дифференцируемой по bi будет и функция z*. Частные производные от экстремума равны соответствующим Л. М. вычисленным при данном b=(b1, ..., b т). В прикладных задачах z часто интерпретируется как доход или стоимость, а правые части bi - как затраты некоторых ресурсов. Тогда размерностью будет отношение единицы стоимости к единице i-гo вида ресурсов. Числа показывают, как изменится максимальный доход (или максимальная стоимость), если количество i-го вида ресурсов увеличится на единицу.

Приведенная интерпретация Л. М. Распространяется также на случай ограничений в виде неравенств и на случай, когда переменные xj подчинены требованиям неотрицательности. В вариационном исчислении с помощью Л. М. Удобно получать необходимые условия оптимальности в задаче на условный экстремум как необходимые условия безусловного экстремума нек-рого составного функционала. Л. М. В вариационном исчислении являются уже не константами, а нек-рыми функциями. В теории оптимального управления и в Понтрягина принципе максимума Л. М. Получили название сопряженных переменных. Лит.:[1] X е д л и Д ж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. С англ., М., 1967. [2] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. С англ., М., 1950.

И. В. Вапнярский.