Лагранжа Уравнения

механики - обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, описывающие движения механич. Систем под действием приложенных к ним сил. Л. У. Установлены Ж. Лаг-ранжем [1] в двух формах. Л. У. 1-го рода, или уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и 2-го рода, или уравнения в обобщенных лагранжевых координатах. Л. У. 1-го рода описывают движения как голономных систем, стесненных только геометрич. Связями вида так и неголономных систем, на к-рые наложены, помимо связей (1), кинематич. Связи вида где - декартовы координаты и скорости точек, N - число точек системы, t - время, - масса р- йточки, имеющей координаты. Связи (1) и (2) предполагаются независимыми, т. Е. Ранги матриц равны соответственно kи т.

Л. У. 1-го рода имеют вид где - неопределенные множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей, - проекции на оси координат заданных активных сил, причем сила Fp действующая на р- юточку, имеет проекции К дифференциальным уравнениям (3) надлежит присоединить k+m уравнений (1) и (2), в результате чего получается система 3N+k+т уравнений с таким же числом неизвестных Л. У. 1-го рода на практике обычно применяются для систем с небольшим числом неизвестных. Л. У. 2-го рода описывают движения лишь голономных систем, стесненных связями вида (1). Введением в рассмотрение n=3N-k независимых обобщенных лагранжевых координат qi, с помощью к-рых любое возможное положение системы может быть получено при нек-рых значениях qi из равенств обращающих уравнения (1) в тождества, устанавливается для каждого tвзаимно однозначное соответствие между возможными положениями системы и точками нек-рой области n-мерного конфигурационного пространства (q1, .., qn).

В случае стационарных связей (1) всегда возможно выбрать переменные д;так, что время tне будет входить в уравнения (4). Далее записываются с помощью уравнений (4) выражения для суммы элементарных работ всех активных сил Fp на возможных перемещениях системы и кинетич. Энергии системы Здесь - обобщенная сила, соответствующая координате - однородные степени s формы обобщенных скоростей qi, причем В случае стационарных связей Т= Т 2. Л. У. 2-го рода имеют вид Уравнения (5) представляют собой систему га обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с неизвестными qi. Они инвариантны по форме относительно выбора лагранжевых координат. Эта система уравнений движения имеет наименьший возможный порядок 2n.

В этом, а также в отсутствии в уравнениях (5) реакций связей, состоит большое преимущество уравнений (5) по сравнению с Л. У. 1-го рода (3). После интегрирования системы (5) реакции связей могут быть определены из уравнений, выражающих второй закон Ньютона для точек системы. В случае потенциальных обобщенных сил, когда существует силовая функция такая, что уравнения (5) принимают вид где носит название функции Лагранжа, или кинетич. Потенциала. Если или - то уравнения (6) допускают обобщенный интеграл энергии или циклический интеграл соответствующий циклической координате q а. Лит.:[1] Lagrange J., Мeсаniquе analytique, P., 1788 (рус. Пер.- Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, 2 изд., т.

1, М.- Л., 1950). В. В. Румянцев.