Лакуна

- 1) Л. В теории функций - см. А дамара теорема о лакунах, Лакунарный степенной ряд. 2) Л. В геометрии - см. Движений группа, Лакунарное . Пространство. 3) Л. В теории дифференциальных уравнений с частными производными - одна из областей D, на к-рые разбивается внутренность характеристич. Конуса линейной гиперболич. Системы с вершиной в точке ( х 0, t0).плоскостью t=t1, обладающая следующим свойством. Малые достаточно гладкие изменения начальных данных внутри Dне влияют на значение решения uв точке ( х 0, t0). В (1) предполагается, что - линейный дифференциальный оператор порядка nj и порядок дифференцирований в нем по tне превосходит nj=1. Под "изменением внутри" понимается изменение в нек-рой области, входящей в Dвместе со своей границей.

Для волнового уравнения решение uзадачи Коши в точке вполне определяется значениями функций на сфере при нечетном n>1 и на шаре при четном n и n=1, поэтому область на плоскости t=0 является Л. Для уравнения (2) при нечетном n>1. Для четного пи n=1 уравнение (2) Л. Не имеет. Это согласуется с Гюйгенса принципом для решений волнового уравнения. Возмущение начальных данных (3) в малой окрестности точки х 0 приводит к сферич. Волне с центром в этой точке, к-рая при нечетном n>1 имеет передний и задний фронты. При остальных значениях пзадний фронт этой волны "размыт", это явление наз. Диффузией волн. Диффузия волн типична для всех линейных гиперболич. Уравнений 2-го порядка, если число ппространственных переменных четно (см.

[1]). Аналогичный вопрос для n=3 изучался в [2], где был описан класс гиперболич. Уравнений 2-го порядка, для к-рых диффузия волн отсутствует. Уравнения этого класса тесно связаны с волновым уравнением. Для общих гиперболич. Систем (1) найдена связь "в малом" между существованием Л. Для системы (1) и аналогичным вопросом для соответствующей системы с постоянными коэффициентами (см. [3]). Для последних систем получены необходимые и достаточные условия алгебраич. Характера, обеспечивающие наличие Л. Лит.:[1] А д а м а р Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. С франц., М., 1978. [2] Mathisson M., "Acta math.", 1939, t. 71, № 3-4, p. 249-82. [3] П е т р о в с к и й И. Г., "Матем.

Сб.", 1945, т. 17, с. 289-370. [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. С англ., М., 1964. А. П. Солдатов.