Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула
- формула вида где весовая функция предполагается неотрицательной на и такой, что существуют интегралы при этом Узлами квадратурной формулы (1) являются корни ортогонального на с весом многочлена степени N, а коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула является интерполяционной. Такая квадратурная формула имеет алгебраич. Степень точности , т. Е. Она является точной для всех алгебраич. Многочленов степени не выше 2N-1 и не точна для , и наз. Квадратурной формулой гауссова типа. Имеется следующее обобщение квадратурных формул наивысшей алгебраич. Степени точности. Пусть в квадратурной формуле с числом узлов узлы заданы заранее (фиксированные узлы), а узлы выбираются так, чтобы квадратурная формула имела наивысшую алгебраич.
Степень точности. Пусть Чтобы квадратурная формула (2) была точна для всех многочленов степени не выше необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной и многочлен был ортогонален на [ а, b]с весом ко всем многочленам степени не выше п-1. Это приводит вопрос о существовании квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени не выше m+2n-1, к нахождению многочлена степени и, ортогонального на [а, b]с весом и выяснению свойств его корней. Если корни действительные, простые, принадлежат [а, b]и их совокупность имеет пустое пересечение с совокупностью фиксированных узлов, то требуемая квадратурная формула существует. Если, кроме того,то ее алгебраич. Степень точности равна При указанных выше предположениях о весовой функции ортогональный на с весом многочлен степени попределяется однозначно (с точностью до отличного от нуля постоянного множителя) в следующих частных случаях.
1), п- любое. Берется один фиксированный узел, совпадающий с концом промежутка при этом выбранный конец промежутка должен быть конечным числом. 2) m=2, n - любое. В качестве фиксированных узлов берутся оба конца промежутка [а, b], к-рый считается конечным. 3) т- любое, п=т+1. В качестве фиксированных узлов берутся корни ортогонального на [а, b] с весом р(х)многочлена В случаях 1) и 2) многочлен является ортогональным относительно веса сохраняющего знак на промежутке интегрирования [а, b], поэтому его корни действительные, простые, лежат внутри ( а, b) и, следовательно, не совпадают с аи b. Квадратурная формула (2) существует, ее коэффициенты положительны и алгебраич. Степень точности равна т+2п-1. Квадратурные формулы, соответствующие случаям 1) и 2), наз.
Формулами Маркова. В случае 3) вес меняет знак на и это осложняет исследование корней . Если где то корни лежат внутри и разделяются корнями . Между любыми двумя соседними корнями лежит точно один корень многочлена (см. [2]). Для рассматриваемого веса квадратурная формула (2) существует и точна для всех многочленов степени не выше . Однако нельзя утверждать, что алгебраич. Степень точности равна . При узлы и коэффициенты квадратурной формулы можно указать явно (см. [3]), при этом алгебраич. Степень точности в первом случае повышается до а во втором - до Для и промежутка [0, 1] вычислены (см. [4]) узлы и коэффициенты квадратурной формулы (2) (с фиксированными узлами типа 3)) при (тменяется от 1 до 40 с интервалом 1).
Алгебраич. Степень точности равна при тчетном и равна при тнечетном. Квадратурная формула (2) с фиксированными узлами типа 3) существует также для промежутка и веса при при этом узлы и коэффициенты можно указать явно (см. [3]). Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967. [2] Szego G., "Math. Ann.", 1934, Bd 110, Н. 4, S. 501-13. [3] Мысовских И. П., "Изв. АН БССР. Сер. Фаз.-тэхщч. Навук", 1964, .№ 4, с. 125-27. [4] Кронрод А. С, Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы, М., 1964. И. П. Мысовских..
Дополнительный поиск Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула
На нашем сайте Вы найдете значение "Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "Н". Общая длина 62 символа