Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула

151

- формула вида где весовая функция предполагается неотрицательной на и такой, что существуют интегралы при этом Узлами квадратурной формулы (1) являются корни ортогонального на с весом многочлена степени N, а коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула является интерполяционной. Такая квадратурная формула имеет алгебраич. Степень точности , т. Е. Она является точной для всех алгебраич. Многочленов степени не выше 2N-1 и не точна для , и наз. Квадратурной формулой гауссова типа. Имеется следующее обобщение квадратурных формул наивысшей алгебраич. Степени точности. Пусть в квадратурной формуле с числом узлов узлы заданы заранее (фиксированные узлы), а узлы выбираются так, чтобы квадратурная формула имела наивысшую алгебраич.

Степень точности. Пусть Чтобы квадратурная формула (2) была точна для всех многочленов степени не выше необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной и многочлен был ортогонален на [ а, b]с весом ко всем многочленам степени не выше п-1. Это приводит вопрос о существовании квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени не выше m+2n-1, к нахождению многочлена степени и, ортогонального на [а, b]с весом и выяснению свойств его корней. Если корни действительные, простые, принадлежат [а, b]и их совокупность имеет пустое пересечение с совокупностью фиксированных узлов, то требуемая квадратурная формула существует. Если, кроме того,то ее алгебраич. Степень точности равна При указанных выше предположениях о весовой функции ортогональный на с весом многочлен степени попределяется однозначно (с точностью до отличного от нуля постоянного множителя) в следующих частных случаях.

1), п- любое. Берется один фиксированный узел, совпадающий с концом промежутка при этом выбранный конец промежутка должен быть конечным числом. 2) m=2, n - любое. В качестве фиксированных узлов берутся оба конца промежутка [а, b], к-рый считается конечным. 3) т- любое, п=т+1. В качестве фиксированных узлов берутся корни ортогонального на [а, b] с весом р(х)многочлена В случаях 1) и 2) многочлен является ортогональным относительно веса сохраняющего знак на промежутке интегрирования [а, b], поэтому его корни действительные, простые, лежат внутри ( а, b) и, следовательно, не совпадают с аи b. Квадратурная формула (2) существует, ее коэффициенты положительны и алгебраич. Степень точности равна т+2п-1. Квадратурные формулы, соответствующие случаям 1) и 2), наз.

Формулами Маркова. В случае 3) вес меняет знак на и это осложняет исследование корней . Если где то корни лежат внутри и разделяются корнями . Между любыми двумя соседними корнями лежит точно один корень многочлена (см. [2]). Для рассматриваемого веса квадратурная формула (2) существует и точна для всех многочленов степени не выше . Однако нельзя утверждать, что алгебраич. Степень точности равна . При узлы и коэффициенты квадратурной формулы можно указать явно (см. [3]), при этом алгебраич. Степень точности в первом случае повышается до а во втором - до Для и промежутка [0, 1] вычислены (см. [4]) узлы и коэффициенты квадратурной формулы (2) (с фиксированными узлами типа 3)) при (тменяется от 1 до 40 с интервалом 1).

Алгебраич. Степень точности равна при тчетном и равна при тнечетном. Квадратурная формула (2) с фиксированными узлами типа 3) существует также для промежутка и веса при при этом узлы и коэффициенты можно указать явно (см. [3]). Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967. [2] Szego G., "Math. Ann.", 1934, Bd 110, Н. 4, S. 501-13. [3] Мысовских И. П., "Изв. АН БССР. Сер. Фаз.-тэхщч. Навук", 1964, .№ 4, с. 125-27. [4] Кронрод А. С, Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы, М., 1964. И. П. Мысовских..

Значения в других словарях
Наибольшего Гарантированного Результата Принцип

..

Наибольший Общий Делитель

- наибольший из общих делителей целых, в частности натуральных, чисел . Если данные числа не все равны нулю, то такой делитель существует. Н. О. Д. Чисел обычно обозначают символом Свойства Н. О. Д. 1) Н. О. Д. Чисел делится на любой общий делитель этих чисел. 2) 3) если целые числа представлены в виде где - различные простые, то Н. О. Д. Двух натуральных чисел можно найти при помощи Евклида алгоритма. Число шагов, необходимых для отыскания Н. О. Д. Двух чисел, превосходит не более чем ..

Наилучшая Квадратурная Формула

оптимальная квадратурная формула,- формула приближенного интегрирования, обеспечивающая на заданном классе функций минимальную погрешность среди всех формул определенного типа. Пусть рассматривается квадратурная формула где - весовая функция. Остаток (погрешность) зависит как от функции , так и от вектора узлов (обычно предполагается, что ) и коэффициентов При фиксированных через Аобозначим нек-рое множество векторов (, ) (и, следовательно, квадратурных формул), определяемое теми или ины..

Наилучшего Приближения Многочлен

наилучшего приближения полином,- многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр., или ) , - система линейно независимых функций из X, то для любой (обобщенный) Н. П. М. определяемый соотношением существует. Единственность Н. П. М. Для всех имеет место, во всяком случае, если X- пространство со строго выпуклой нормой (т. Е. Из ..

Дополнительный поиск Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула

Добавить комментарий
Комментарии
Комментариев пока нет

На нашем сайте Вы найдете значение "Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Наивысшей Алгебраической Степени Точности Квадратурная Формула, различные варианты толкований, скрытый смысл.

Первая буква "Н". Общая длина 62 символа