Наилучшего Приближения Многочлен

наилучшего приближения полином,- многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр., или ) , - система линейно независимых функций из X, то для любой (обобщенный) Н. П. М. определяемый соотношением существует. Единственность Н. П. М. Для всех имеет место, во всяком случае, если X- пространство со строго выпуклой нормой (т. Е. Из следует, что ). Таким является пространство при . В пространстве , норма к-рого не является строго выпуклой, Н. П. М. Для любой единствен, если система является чебышевской на т. Е. Каждый многочлен имеет на отрезке не более чем нулей.

В частности, единственность имеет место для алгебраич. Многочленов в а также для тригонометрич. Полиномов в пространстве непрерывных на всей оси периодических функций с равномерной метрикой. Если Н. П. М. Существует и единствен для любой то он непрерывно зависит от х. Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки Н. П. М. В пространствах и Справедлива, напр., теорема Чебышева. Если система является чебышевской, то для того, чтобы многочлен (*) являлся для функции Н. П. М. В метрике пространства необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из точек в к-рых разность принимает значения причем Многочлен (*) является Н. П. М. Для функции в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда k=1, 2, .

, п. В случае р=1, т. Е. В пространстве L1[a, b], условия достаточны, а если мера множества тех точек tиз ( а, b), где равна нулю, то и необходимы, чтобы был Н. П. М. Для см. Также Маркова крите рий. Существуют алгоритмы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения (см., напр., [3], [5]). Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965. [2] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976. [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977. [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976. [5] Лоран П. Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. С франц., М., 1975. [6] Ремез Е. Я., Основы численных методов чебышевского приближения, К., 1969.

H. П. Корнейчук, В. П. Моторный..