Наилучшее Приближение

функции x(t)функциями u(t)из фиксированного множества F- величина где - погрешность приближения (см. Прибли жения функций мера). Можно говорить о Н. П. В произвольном метрич. Пространстве X, когда определяется расстоянием между элементами хи и, в этом случае Е( х, F).- расстояние от элемента хдо множества F. Если X- линейное нормированное пространство, то при фиксированном Н. П. можно рассматривать как заданный на Xфункционал (функционал наилучшего приближения). Функционал Н. П. Непрерывен, каково бы ни было множество F. Если F- подпространство, то функционал Н. П. Является полунормой, т. Е. и для любого В случае, когда F- конечномерное подпространство, в Fдля любого существует элемент (элемент наилучшего приближения), на к-ром в (1) реализуется нижняя грань.

В пространстве Xсо строго выпуклой нормой элемент Н. П. Единствен. С помощью теорем двойственности Н. П. В линейном нормированном пространстве Xможет быть выражено через верхнюю грань значений нек-рых функционалов из сопряженного пространства (см., напр., [5], [8]). Если F- замкнутое выпуклое множество в X, то для любого в частности, когда F- подпространство, то где - множество функционалов из таких, что f(u)=0 для любого . В функциональных пространствах Си L р правые части (2) и (3) конкретизируются с учетом формы линейного функционала. В гильбертовом пространстве НН. П. Элемента n -мерным подпространством реализуется оператором ортогонального проектирования на и может быть вычислено. где - базис - определитель Грама, составленный из скалярных произведений Если базис ортонормирован, то В пространстве С=С[ а, b]для величины наилучшего равномерного приближения функции , n-мерным чебышевским подпространством справедлива оценка (теорема Балле Пуссена).

Если для нек-рой функции существует n+1 точек , в к-рых разность принимает значения с последовательно чередующимися знаками, то О Н. П. В пространстве L1(a, b )см. Маркова критерий. В ряде важных случаев Н. П. Функций конечномерным подпространством можно оценить сверху через дифференциально-разностные характеристики (напр., модуль непрерывности) приближаемой функции или ее производных. Понятие наилучшего равномерного приближения непрерывных функций многочленами ввел П. Л. Чебышев (1854), к-рый разработал теоретич. Основы Н. П. И установил критерий многочлена Н. П. В метрике пространства С(см. Наилучшего приближения многочлен). Наилучшее приближение класса функций - верхняя грань Н. П. Функций f(t)из заданного класса фиксированным множеством функций F, т.

Е. Величина // .