Неархимедова Геометрия

- совокупность геометрич. Предложений, вытекающих из групп аксиом. Инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы Гильберта аксиом евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности (с аксиомами Архимеда и полноты). В узком смысле Н. Г. Описывает геометрич. Свойства прямой, на к-рой не верна аксиома Архимеда (неархимедова прямая). Для исследования геометрич. Соотношений в Н. Г. Вводится исчисление отрезков - неархимедова числовая система, рассматриваемая как специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка, отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится дезаргова числовая система - неархимедова система, в к-рой умножение отрезков некоммутативно.

С помощью этих числовых систем в Н. Г. Строится теория подобия фигур, теория площадей и т. Д. Теория площадей многоугольников, лежащая в основе теории измерения площадей фигур на неархимедовой плоскости, опирается на понятие равно-великости многоугольников по дополнению, к-рое в Н. Г. Является более общим по отношению к понятию равносоставленности (равновеликости по разложению на пары конгруэнтных треугольников). В Н. Г. Существуют треугольники, имеющие соответственно равные меры высот и оснований, равновеликие по дополнению, но не равносоставленные. Равновеликие по дополнению многоугольники в Н. Г. Имеют одинаковую меру площади, и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда равновелики по дополнению. Для крямоугольных треугольников в Н.

Г. Имеет место теорема Пифагора. С помощью исчисления отрезков в неархимедовом пространстве вводится система аффинных (или проективных) координат. Напр., на плоскости выбираются две прямые - оси координат, проходящие через фиксированную точку, на каждой из осей отмечаются единичные отрезки. В этой системе аффинных координат уравнение прямой является линейным, т. Е. Имеет вид ах+bу+с= 0, где х, у- числа (отрезки), определяют координаты точек на прямой, а, b, с- фиксированные числа (отрезки), причем умножение фиксированных отрезков на отрезки хи упроизводится всегда слева, и, вообще говоря, уравнение xа+yb+с=0 в этой системе координат не представляет прямую. Система геометрич. Предложений, составляющих Н. Г., может быть реализована на модели из конечного набора основных объектов.

"точек", "прямых" и т. Д. (здесь на каждой "прямой" не предполагается существование бесконечного множества "точек"). Построение числовых моделей Н. Г. Приводит к т. Н. Трансфинитным (неархимедовым) пространствам Гильберта. Такое числовое пространство на прямой наз. Линейным пространством Веронезе. Числовая реализация Н. Г., в к-рой коммутативный закон умножения не является необходимым, играет также важную роль в построении непаскалевой геометрии (см. Также Недезаргова геометрия). Значение Н. Г. Определяется ее ролью в исследовании независимости и непротиворечивости системы Гильберта аксиом евклидова пространства. Реализация на числовой модели групп аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности доказывает как их независимость от аксиом полноты, так и непротиворечивость самой Н.

Г. С другой стороны, выясняется и роль аксиом непрерывности в построении евклидовой геометрии на основе аксиом Гильберта. В частности, без аксиом непрерывности невозможно доказать эквивалентность евклидовой аксиомы параллельности предложению о равенстве суммы внутренних углов любого треугольника двум прямым углам. Геометрич. Построения на неархимедовой плоскости всегда осуществимы с помощью линейки с отмеченным эталоном длины (отмеченным отрезком). Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. С нем., М.-Л., 1948. Л. А. Сидоров..