Неатомическая Игра

- игра, в к-рой на множестве всех игроков I задана s-алгебра подмножеств и на существует такая неатомическая мера, что множества игроков , имеющие нулевую меру, не оказывают влияния на исход игры. Н. И. Служат моделями ситуаций, в к-рых имеются большие количества очень "малых" индивидуумов, подобных потребителям в экономич. Системе, и развитие теории Н. И. Было тесно связано с изучением моделей, экономик с большим числом участников (см. [1]). Н. И. Подчиняются общей классификации, принятой в игр теории, и основные теоретико-игровые принципы оптимальности (см. Ядро в теории игр, Шепли вектор )естественным образом на них распространяются. При этом стратегич. Принципы оптимальности в Н. И. Реализуются, как правило, без обычных предположений о выпуклости (см.

[2]), и различные принципы оптимальности в Н. И. Оказываются более тесно связанными между собой. Напр., для широкого класса неатомич. Моделей типа рынков множество конкурентных равновесий совпадает с с-ядром, к-рое состоит из единственного элемента, совпадающего со значением игры (аналогом вектора Шепли для Н. И., см. [1]). Разрабатываются два направления - кооперативная теория Н. И. (см. [1], [3], [4]) и теория бескоалиционных Н. И. (см. [2]). Кооперативная неатомическая и г-р а, по аналогии с обычной кооперативной игрой, задается в виде тройки где - измеримое пространство игроков, элементы наз. Коалициями, v- действительнозначная функция на , наз. Характеристической функцией, а H - нек-рое подмножество множества всех конечно аддитивных мер ограниченной вариации на {обычно предполагается, что для всех ).

В простейшем случае vявляется функцией от неатомич. Меры на . Предполагается, что пространство J стандартно, а функция множества vимеет ограниченную вариацию (т. Е. Представима в виде разности двух монотонных функций). Описаны [1] различные подпространства пространства BV всех функций ограниченной вариации на , для к-рых можно построить аналог вектора Шепли (как положительный линейный оператор со значениями в FA). Понятия сбалансированной игры, игры рынка, игры без побочных платежей (см. Кооперативная игра )и "вязанные с ними результаты переносятся на кооперативные Н. И. (см. [3], [4]). Определение бескоалиционной неатомической игры аналогично определению жлассич. Понятия бескоалиционной игры. Для бескоалиционных Н.

И. Известны аналог Нэша теоремы, а также общие результаты о существовании ситуаций равновесия без предположений о выпуклости, к-рые не имеют места для игр с конечным числом участников (см. [2]). Лит.:[1] Ауман Р., Щепли Л., Значения для неатомических игр, пер. С англ., М., 1977. [2] Кирута А. Я., в кн. Математические методы в социальных науках, в. 6, Вильнюс, 1975, с. 18-71. [3] Розенмюллер И., Кооперативные игры и рынки, пер. С нем., М., 1974. [4] Rоsenmullеr J., "Operat. Res. Verfahren", 1975, Bd 20, S. 107-28. А. Я. Кирута, Е. Б. Яновская..