Обобщенное Решение

155

- обобщение понятия классич. Решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. Физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты - обобщенные функции, гиперфункции и т. Д. Поэтому понятие О. Р. Тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Под обобщенным решением дифференциального уравнения в классе . Понимается всякая обобщенная функция ииз , удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. Е. Для любой основной функции должно быть выполнено равенство - сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа.

О. Р. Краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р( дО). Или D'( дО )и т. Д.), напр. ), О. Р. Краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. Решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. Д. Примеры. 1) Общее решение уравнения в классе дается формулой где - функция Хевисайда. - дельта-функция Дирака, - здесь и далее произвольные постоянные. 2) Уравнение имеет одно решение в классе , равное а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой 3) Общее решение волнового уравнения в классе дается формулой где f и g- произвольные функции класса 4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа - (вещественно) аналитическое в О.

5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности - бесконечно дифференцируемое. 6) Всякий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'. 7) Всякое уравнение - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом из О. Р. и из если О- ограниченная область. 8) О. Р. Икраевой задачи в классе Соболева возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала в классе . Решение этой вариационной задачи при любом f из существует и единственно в классе . Таким образом, О. Р. Краевой задачи (2) при всех дают самосопряженное расширение оператора (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу).

О. Р. Краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. Е. Типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции. Лит.:[1] Соболев С. Л., "Матем. Сб.", 1936, т. 1, № 1, с. 39-72. [2] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962. [3] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51. [4] Гельфанд И. M, Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958. [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. С англ., М., 1965. [6] Hyperfunctions and pseudo-differential eduations, В.- [u. A.], 1973. [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981.

[8] его же, Обобщенные функции в математической физике, М., 2 изд., 1979. В. С. Владимиров..

Значения в других словарях
Обобщенно Разрешимая Группа

- группа одного из обобщенно разрешимых классов групп. Класс групп наз. Обобщенно разрешимым, если он содержит все разрешимые группы и пересекается с классом конечных групп по классу всех конечных разрешимых групп. Рассматривалось довольно много классов О. Р. Г., причем в основном изучались связи между различными такими классами. Важнейшим классом О. Р. Г. Является класс локально разрешимых групп. Другие классы, как правило, вводились при рассмотрении тех или иных свойств нормальных и субнормал..

Обобщенного Сдвига Операторы

..

Обобщенной Функции Носитель

- множество тех и только тех точек, ни в какой окрестности к-рых обобщенная функция не обращается в нуль Обобщенная функция из обращается в нуль в открытом множестве если для всех . С помощью разложения единицы показано, что если обобщенная функция из обращается в нуль в нек-рой окрестности каждой точки то обращается в нуль в О. Объединение всех окрестностей, где обращается в нуль, наз. Нулевым множеством обобщенной функции и обозначается . Носитель , обозначаемый supp f, есть дополнение к д..

Обобщенной Функции Производная

- слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная порядка определяется равенством Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что Имеют место следующие свойства О. Ф. П. Операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле). Дифферен..

Дополнительный поиск Обобщенное Решение Обобщенное Решение

Добавить комментарий
Комментарии
Комментариев пока нет

На нашем сайте Вы найдете значение "Обобщенное Решение" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Обобщенное Решение, различные варианты толкований, скрытый смысл.

Первая буква "О". Общая длина 18 символа