Обобщенное Решение
- обобщение понятия классич. Решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. Физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты - обобщенные функции, гиперфункции и т. Д. Поэтому понятие О. Р. Тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Под обобщенным решением дифференциального уравнения в классе . Понимается всякая обобщенная функция ииз , удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. Е. Для любой основной функции должно быть выполнено равенство - сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа.
О. Р. Краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р( дО). Или D'( дО )и т. Д.), напр. ), О. Р. Краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. Решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. Д. Примеры. 1) Общее решение уравнения в классе дается формулой где - функция Хевисайда. - дельта-функция Дирака, - здесь и далее произвольные постоянные. 2) Уравнение имеет одно решение в классе , равное а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой 3) Общее решение волнового уравнения в классе дается формулой где f и g- произвольные функции класса 4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа - (вещественно) аналитическое в О.
5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности - бесконечно дифференцируемое. 6) Всякий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'. 7) Всякое уравнение - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом из О. Р. и из если О- ограниченная область. 8) О. Р. Икраевой задачи в классе Соболева возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала в классе . Решение этой вариационной задачи при любом f из существует и единственно в классе . Таким образом, О. Р. Краевой задачи (2) при всех дают самосопряженное расширение оператора (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу).
О. Р. Краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. Е. Типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции. Лит.:[1] Соболев С. Л., "Матем. Сб.", 1936, т. 1, № 1, с. 39-72. [2] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962. [3] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51. [4] Гельфанд И. M, Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958. [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. С англ., М., 1965. [6] Hyperfunctions and pseudo-differential eduations, В.- [u. A.], 1973. [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981.
[8] его же, Обобщенные функции в математической физике, М., 2 изд., 1979. В. С. Владимиров..
Дополнительный поиск Обобщенное Решение
На нашем сайте Вы найдете значение "Обобщенное Решение" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Обобщенное Решение, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "О". Общая длина 18 символа