Объемный Потенциал

- выражение вида где D- конечная область евклидова пространства ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова - фундаментальное решение оператора Лапласа, - площадь единичной сферы в - расстояние между точками хи у, - элемент объема D. Если то О. П. Определен для всех . При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению т. Е. Является гармонической функцией;при . Эта функция регулярна на бесконечности, В области DО. П. И(х). Принадлежит классу и удовлетворяет Пуассона уравнению. Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона Изучены также свойства О.

П. Произвольной меры Радона, сосредоточенной на N-мерной области D. Здесь также почти всюду в D. Где - производная меры m по мере Лебега в . В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. Оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса . При этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой (см. [2]-[4]). О. П. Применяется при решении краевых задач для эллиптич. Уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. Уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида где - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в . - плотность. Функция и ее обобщения на случай произвольного параболич.

Уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] - [6]). Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953. [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. С итал., М., 1957. [3] Тихонов А. Н., Самарский Л. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977. [4] Смирнов В. И. Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958. [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. С англ., М., 1968. [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 196В. Е. Д. Соломецев..