Тензор

на векторном пространстве Vнад нолем k - элемент tвекторного пространства где V*=Hom(V, k) - пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз. Контравариантной валентностью, q - ковариантной валентностью, а число р+q - общей валентностью тензора t. Пространство Т 0,0(V)отождествляется с k. Тензоры типа ( р,0) наз. Контравариантными, типа (0, q) - ковариантными, а остальные - смешанными. Примеры Т. 1) Вектор пространства V(Т. Типа , (1,0)). 2) Ковектор пространства V(Т. Типа (0, 1)). 3) Каждый ковариантный Т. где определяет q-линейную форму на Vпо формуле отображение пространства Т 0,q в пространство Lq(V) всех q-линейных форм на Vлинейно и инъектив-но.

Если dim то это отображение является изоморфизмом, так что любая q-линейная форма отвечает нек-рому Т. Типа (0, q). 4) Аналогично, каждый контравариантный Т. Из Т р,0(V)определяет нек-рую р-линейную форму на V*, а если Vконечномерно, то верно и обратное. 5) Каждый Т. где определяет линейное преобразование пространства V, заданное формулой если то любое линейное преобразование пространства Vопределяется Т. Типа (1, 1). 6) Аналогично, любой Т. Типа (1, 2) определяет в Vбилинейную операцию, т. е. Структуру k-алгебры. При этом, если dim то любая структура k-алгебры в Vопределяется век-рым Т. Типа (1, 2), к-рый наз. Структурным тензором алгебры. Пусть Vконечномерно и v1, . .., vn - его базис, v1, . ., vn - сопряженный базис пространства V*.

Тогда Т. составляют базис пространства Tp,q (V). Координаты тензора в этом базисе наз. Также к о-ординатами тензора tвбазисе v1, . ., vn пространства V. Напр., координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах и , координаты Т. Типа (0, 2) совпадают с элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты Т. Типа (1, 1) - с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного Т. Алгебры - с ее структурными константами. Если - другой базис пространства то координаты тензора tв этом базисе определяются по формулам Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна. По каждой паре одинаковых индексов, один из к-рых - верхний, а другой - нижний, подразумевается суммирование от 1 до п.

Обратно, если система п p+q элементов поля k, зависящая от базиса пространства V, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам (1), то эта система является набором координат нек-рого Т. Типа ( р, q). В векторном пространстве Т p,q (V)определены операции сложения Т. И умножения Т. На екаляр из k. При этих операциях соответствующие координаты Т. Складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения Т. Разных типов, к-рая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств переводящий в Поэтому для любых и элемент может рассматриваться как Т. Типа (p+r, q+s), к-рый и наз. Произведением тензоров tи и. Координаты произведения вычисляются по формуле Пусть р>0, q>0 и пусть фиксированы числа и где Тогда определено линейное отображение такое, что Оно наз.

Свертыванием (или сверткой) по -му контравариантному и -му ковариантному индексам. В координатах свертка записывается формулами Напр., свертка типа (1, 1) есть след соответствующего линейного преобразования. Аналогично определяются Т. На произвольном унитарном модуле Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства Т. Переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причем иногда надо предполагать, что V- свободный или конечно порожденный свободный модуль. Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем kфиксирована невырожденная билинейная форма g(напр., V - евклидово или псевдоевклидово пространство над форму gназывают в этом случае метрическим тензором.

Метрический Т. Определяет изоморфизм по формуле Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс Тогда формула определяет изоморфизм называемый опусканием -го контравариантного индекса. Иначе, В координатах опускание индекса имеет вид Аналогично определяется изоморфизм подъема -го ковариантного индекса отображающий на В координатах подъем индекса записывается формулой где В частности, подъем сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич. Тензора gприводит к Т, типа (2, 0) с координатами gkll (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку.

Напр., для координаты Т. записывают в виде Любое линейное отображение векторных пространств над k естественным образом определяет линейные отображения и Если f - изоморфизм, то определяется также линейное отображение причем Соответствие обладает функторными свойствами. В частности, оно определяет линейное представление группы GL(V) в пространстве Tp,q(V)(тензорное представление). Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. С франц., М., 1962. [2] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971. [З] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980. [4] Постниковы. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.

[5] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967. А. Л. Онищик.