Тканей Геометрия

- раздел дифференциальной геометрии, в к-ром изучаются нек-рые семейства линий и поверхностей - т. Н. Ткани (плоские, пространственные, многомерные). Плоской р-тканью наз. Область плоскости, в к-рой заданы р(обычно семейств достаточно гладких линий со свойствами. 1) через каждую точку области проходит точно по одной линии каждого семейства. 2) линии разных семейств имеют не более одной общей точки. Пример. Три семейства прямых, параллельных сторонам равностороннего треугольника, образуют 3-ткань (регулярную, или правильную ткань). Основным предметом изучения в Т. Г. Являются свойства, инвариантные при дифференциально топологич. Преобразованиях. Ткани наз. Эквивалентными, если они (локально или глобально) диффеоморфны.

При р=2ткань диффеоморфна ткани, образованной двумя семействами параллельных прямых (такие ткани наз. сетями). При р=3 ткань уже в общем случае недиффеоморфна ни трем семействам параллельных прямых (т. Е. Не является шестиугольной тканью), ни трем семействам прямых вообще (т. Е. Не является спрямляемой тканью). Условие шестиугольности ткани в геометрич. Форме состоит в выполнении замыкания условия. Условие спрямляемости ткани не может быть записано в обозримом виде. Его исследованием занимаются в связи с проблемами номографии. Пространственные криволинейные ткани образуются рсемействами кривых в пространстве при условии, что через каждую точку области проходит одна кривая каждого семейства. Уже при р=2 такие ткани не все диффеоморфны.

Выделяются ткани четырехугольные, линии которых образуют сети на поверхностях однопараметрического семейства . Пространственные поверхностные ткани образуются рсемействами поверхностей при условии, что через каждую точку проходит по одной поверхности каждого семейства, а три поверхности разных семейств имеют не более одной общей точки. Для таких тканей и их многомерных аналогов также вводится понятие спрямляемости, т. Е. Диффеоморфности ткани, образованной семействами плоскостей (гиперплоскостей). 4-ткань наз. Октаэдрической тканью, если она диффеоморфна ткани, образованной четырьмя семействами плоскостей, параллельных граням правильного октаэдра. 4-ткань наз. Шестиугольной, если 3-ткани, высекаемые поверхностями любых трех семейств на поверхностях четвертого,- шестиугольные.

Многомерные ткани образованы рсемействами подмногообразий многомерного пространства. Напр., три семейства r-мерных подмногообразий 2r-мерного пространства образуют 3-ткань, если через каждую точку проходит по одному подмногообразию каждого семейства, а многообразия двух разных семейств имеют не более одной общей точки. Т. Г. Рассматривает также проективно-дифференциальные аффинно-дифференциальные и др. Свойства тканей в связи с геометрией несущего ткань многообразия. Рассматриваются ткани, образованные геодезическими линиями, линиями, связанными с Дарбу тензором, и т. Д. Определение линии третьего семейства линиями двух других (в случае плоской 3-ткани) может рассматриваться как алгебраич. Операция квазигруппового типа.

В связи с этим возникло понятие абстрактной ткани, или алгебраич. Сети (см. Квазигруппа). Лит.:[1] Бляшке В., Введение в геометрию тканей, пер. С нем., М., 1959. [2] Рыжков В. В., Белоусов В. Д., в сб. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 1971, М., 1972, с. 159-88. [3] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. В. В. Рыжков..