Унарная Алгебра

уноид,- универсальная алгебра с семейством унарных операций Важный пример У. А. Дает групповой гомоморфизм произвольной группы Gв группу SA всех подстановок множества А. Такой гомоморфизм наз. Действием группы . На А. Определяя унарную операцию для каждого элемента как подстановку из SA, отвечающую элементу gпри гомоморфизме получают У. А. в к-рой Структуру У. А. Несет на себе любой модуль над кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний . И входными символами a1, . ., а п также можно рассматривать как У. А. <S, f1, . ., fn>, в к-рой fi(s)=ais есть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символа ai. У. А. С одной основной операцией наз. Моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано <Р, f>, где Р={1,2,.

.} и f(n)=n+1. Тождества произвольной У. А. Могут быть лишь следующих типов. Тождество II2 равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. А., определяемое лишь тождествами вида Il, I2 или I3, наз. Регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. А. И полугруппами (см. [1], [3], [4]). Пусть V - регулярно определимое многообразие У. А., заданное множеством функциональных символов и множеством тождеств. Каждому символу fi сопоставляется элемент а i, а для каждого тождества вида I1 из выписывается определяющее соотношение Пусть Р - полугруппа с порождающими и выписанными определяющими соотношениями, a Р1 - полугруппа . Свнешне присоединенной единицей е.

Для каждого тождества вида I2 из (если такие имеются) выписывают определяющее соотношение Полугруппу Р V, получаемую из Р 1 присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразию V. Она во многом характеризует это многообразие. Если содержит лишь тождества вида Il, то можно ограничиться построением лишь полугруппы Р. Определяя в Р V унарные операции fi(x)=xai, получают У. А. к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. А. изоморфна группе обратимых элементов полугруппы Р V. Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970. [2] Биркгоф Г., Барти Т., Современная прикладная алгебра, пер. С англ., М., 1976. [3] Смирнов Д. М., лАлгебра и логика.