Унипотентная Группа

подгруппа Uлинейной алгебраич. Группы G, состоящая из унипотентных элементов. Если отождествить G с ее образом при изоморфном вложении в группу GL(V)автоморфизмов подходящего конечномерного векторного пространства V, то У. Г.- это подгруппа, лежащая в множестве всех унипотентных автоморфизмов пространства V. Зафиксировав в Vбазис, можно отождествить GL(V)с полной матричной группой GLn(K), где К - основное алгебраически замкнутое поле. Матричная группа Uтакже называется при этом У. Г. Пример У. Г.- группа U п (К)всех верхнетреугольных матриц из GLn(K) с единицами на диагонали. Если k- подполе поля К к U- унипотентная подгруппа в GLn(k). То Uсопряжена над kс нек-рой подгруппой группы Un(k). В частности, все элементы из U имеют в Vобщий ненулевой неподвижный вектор, a Uявляется нильпотентной группой.

Эта теорема показывает, что алгебраические У. Г.- это в точности замкнутые (в топологии Зариского) подгруппы групп Un (К)при различных п. В любой линейной алгебраич. Группе H имеется единственная связная нормальная унинотентная подгруппа Ru (Н) (унипотентный радикал), фактор H/Ru (Н)по к-рому редуктивен. Это в известной степени сводит изучение строения любой группы к изучению строения редуктивных групп и У. Г. В отличие от редуктивного случая классификация алгебраических У. Г. К настоящему времени (1984) неизвестна. Всякая подгруппа и всякая факторгруппа алгебраической У. Г. Снова являются У. Г. Если char К=0,то Uвсегда связна, причем экспоненциальное отображение ехр . (где - алгебра Ли группы U)является изоморфизмом алгебраич.

Многообразий. Если же char К=р>0,то существуют несвязные алгебраические У. Г. Напр., аддитивная группа Ga основного поля . (ее можно отождествить с U2(K))является р-группой и потому содержит конечные У. Г. В связной У. Г. Uимеется такая последовательность нормальных делителей что все факторы Ui/Ui+1 одномерны. Всякая связная алгебраическая одномерная У. Г. Изоморфна Ga. Это сводит изучение связных алгебраических У. Г. К описанию кратных расширений групп типа Ga. Значительно больше, чем в общем случае, известно о коммутативных алгебраических У. Г. (см. [4]). Если char K=0, то это в точности алгебраич. Группы, изоморфные при этом изоморфизм задается экспоненциальным отображением. Если же char K=p>0,то связные коммутативные алгебраические У.

Г. U - это в точности связные коммутативные алгебраич. Группы, являющиеся р-группами. В этом случае Uне обязательно изоморфна для этого необходимо и достаточно, чтобы gP=e для любого В общем же случае Uизогенна произведению нек-рых специальных групп (т. Н. Групп Витта, см. [2]). Если Ни U - связные алгебраические У. Г. И то многообразие U/H изоморфно аффинному пространству. Любая орбита алгебраической У. Г. Автоморфизмов аффинного алгебраич. Многообразия . Замкнута в X[5]. Лит,:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Серр Ж. П., Алгебраические группы и поля классов, пер. С франц., М., 1968. [3]Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. [4] Кambауасhi Т., Miyanishi М., Тakеuсhi M., Unipotent algebraic groups, В.- [а.

О.], 1974. [5] Steinberg R., Conjugacy classes in algebraic groups, B.- fa. O.], 1974. В. Л. Попов.