Унипотентный Элемент

элемент . Линейной алгебраич. Группы G, совпадающий с унипотентной компонентой gu своего Жордана разложения в группе G. Если реализовать G как замкнутую подгруппу группы GL(V)автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад основным алгебраически замкнутым полем К, то У. Э. G - это в точности такие элементы, что (1-g)n=0, n=dim V, или, что их матрицы в нек-ром базисе пространства Vявляются верхне-треугольными с единицами на диагонали. Множество U(G)всех У. Э. В G замкнуто в топологии Зариского, а если G определена над подполем то и U(G) определено над k. Если char К=0, то всякий У. Э. Gимеет бесконечный порядок. В этом случае наименьшая алгебраич. Подгруппа в G, содержащая g, является одномерной унипотентной группой.

Если же char K=p>0, то gбудет У. Э. В точности тогда, когда он имеет конечный порядок, равный р t для нек-рого Связная группа не содержит У. Э. Тогда и только тогда, когда она является алгебраическим тором. В терминах У. Э. Может быть дан критерий анизотропности (см. Анизотропная группа). У. Э. Играют важную роль в теории дискретных подгрупп алгебраич. Групп и групп Ли. Наличие У. Э. В дискретных группах Г движений симметрических пространств, имеющих некомпактную фундаментальную область конечного объема, является важным средством изучения структуры таких групп и их канонических фундаментальных областей (см. [5]). Существование У. Э. В таких Г доказано в [4]. Многообразие U(G) инвариантно относительно внутренних автоморфизмов группы G.

Пусть G связна и полупроста. Тогда число классов сопряженных У. Э. Конечно и для каждой простой G известно полное их описание (а также описание централизаторов У. Э.), см. [7]. В классич. Группах такое описание получается с использованием жордановой формы матрицы [2]. Напр., для группы G=SLn(K)существует биекция между классами сопряженных У. Э. И разбиениями (т 1, . ., ms )числа пв сумму положительных целых слагаемых Если и It) - два разбиения числа п, то класс, отвечающий содержит в своем замыкании класс, отвечающий в точности тогда, когда li для всех j. Размерность класса, отвечающего разбиению (т 1,. ., ms )(как алгебраического многообразия), равна Множество всех простых точек алгебраического многообразия U(G) образует один класс сопряженных У.

Э.- регулярные У. Э. Если G проста, то многообразие особых точек многообразия U(G) также содержит открытый в топологии Зариского класс сопряженных У. Э.- субрегулярные У. Э. По поводу изучения особых точек многообразия U(G) см. Также [6]. Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Семинар по алгебраическим группам, пер. С англ., М., 1973. [3] Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. [4] Каждан Д. А., Маргулис Г. А., лМатем. Сб..