Унитарная Группа

относительно формы f - группа Un( К, f) всех линейных преобразований n-мерного правого линейного пространства Vнад телом К, сохраняющих фиксированную невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции J тела К)форму f на V, т. Е. Таких что У. Г. Принадлежит к числу классических групп. Частными случаями У. Г. Являются симплектическая группа (в этом случае К - поле, J=1и f - знакопеременная билинейная форма) и ортогональная группа( К - поле, char J=1, f - симметрическая билинейная форма). Далее, пусть и f обладает свойством (Т)(см. Витта теорема). Умножая f на подходящий скаляр, можно, не меняя У. Г., добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой, а меняя, сверх того, J,- чтобы f стала косоэрмитовой формой.

Если исключить случай n=2, то всякий элемент У. Г. U п( К, f) является произведением не более чем п+l квазиотражении (т. Е. Преобразований, оставляющих на месте все элементы какой-либо неизотропной гиперплоскости в V). Центр Zn У. Г. Un(K, f) состоит из всех гомотетий пространства Vвида Пусть v - индекс Витта формы f. Если то удобно считать f косоэрмитовой. Пусть Т п( К, f) - нормальный делитель в Un(K, f), порожденный унитарными сдвигами, т. Е. Линейными преобразованиями вида где а - изотропный вектор пространства V, а Центром группы Т п( К, f) является группа Факторгруппа Т п( К, f)/Wn проста при если или Строение факторгруппы Un(K,f)/ Т п( К, f) описывается следующим образом. Пусть - подгруппа мультипликативной группы К* тела К, порожденная а - подгруппа в К*, порожденная элементами обладающими следующим свойством.

В F существует такая гиперболическая плоскость (т. Е. Двумерное неизотропное подпространство, содержащее изотропный вектор), что для нек-рого вектора ортогонального к указанной плоскости. Эти подгруппы являются нормальными в К*. Пусть - подгруппа в К*, порожденная коммутаторами Если исключить случай n= 3, то Un(K, f)/ Т п( К, f) при изоморфна Группа Т п( К, f) во многих случаях совпадает с коммутантом У. Г. Т п( К, f). Это верно, напр., если Если Ккоммутативно и то Т п( К, f) совпадает с нормальной подгруппой состоящей из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1 (за исключением случая n=3, Соотношения между и исследованы также в случае, когда тело Кимеет конечную размерность над своим центром [1].

Пусть теперь v=0. Тогда многие из указанных результатов неверны (имеются примеры У. Г., обладающих бесконечным рядом нормальных делителей с абелевыми факторами, примеры У. Г., для к-рых n=2и не совпадает со своим коммутантом и т. П.). Наиболее изученными являются случаи локально компактного поля характеристики и поля алгебраич. Чисел. Один из основных результатов об автоморфизмах У. Г. Состоит в следующем (см. [1]). Если char a то всякий автоморфизм У. Г. Т п( К, f) имеет вид где - гомоморфизм Т п( К, f) в со центр Zn, a g - унитарное полуподобие пространства V(т. Е. Биективное полулинейное отображение удовлетворяющее условию где а - автоморфизм K, связанный с g). Если nчетно, К - поле характеристики и то всякий автоморфизм группы индуцируется автоморфизмом группы Т п( К, f).

Если - автоморфизм комплексного сопряжения и эрмитова форма f положительно определена, то У. Г. Т п( К, f )обозначается через Un;она является компактной вещественной связной группой Ли и часто наз. Просто У. Г. В случае неопределенной формы / группу часто наз. Псевдоунитарной. С помощью выбора в Vбазиса Un отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа в этом случае наз. Специальной унитарной группой и обозначается через SUn. Лит.:[1] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. С франц., М., 1974. [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [3] Автоморфизмы классических групп, сб. Пер. С англ. И франц. М., 1976. [4] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. С англ., М., 1947.

[5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар лСофус Ли.