Факторный Анализ

- раздел многомерного статистич. Анализа, объединяющий математико-статистич. Методы снижения размерности исследуемого многомерного признака x= (x1, х 2, . ., x р)', т. Е.-построения,- на основе исследования структуры связей между компонентами xixj, i, j=1,2, . ., р,- таких моделей, к-рые позволяли бы восстанавливать (с нек-рой случайной ошибкой прогноза значения ранализируемых компонент признака хпо существенно меньшему числу так наз. Общих (непосредственно не наблюдаемых) факторов f=(f1, f2, . ., f т)'. Простейшим вариантом формализации подобной постановки задачи служит линейная нормальная модель Ф. А, с взаимно ортогональными общими факторами и с некоррелированными остатками. или в матричной записи где -матрица qкоэффициентов линейного преобразования наз.

Матрицей нагрузок общих факторов на исследуемые переменные. Предполагается, что вектор специфич. Остатков (ошибок прогнозов) подчиняется р-мерному нормальному распределению с нулевым вектором средних значений и с неизвестной диагональной ковариационной матрицей вектор общих факторов f, в зависимости от специфики решаемой задачи, может интерпретироваться либо как m-мерная случайная величина с ковариационной матрицей Vf специального вида, а именно - с единичной (т. Е. Vf=Im), либо как вектор неизвестных неслучайных параметров (взаимно ортогональных и нормированных), значения к-рых меняются от наблюдения к наблюдению. Если предположить, что наши переменные заранее процентрированы (т. Е. то из (1') с учетом принятых допущений немедленно получается следующее соотношение, связывающее ковариационные матрицы векторов xи и матрицу нагрузок.

При проведении реального статистич. Анализа исследователь располагает лишь оценками элементов ковариационной матрицы Vx (полученными по наблюдениям x1, х 2, ..., xn), в то время как структурные параметры модели - элементы qki матрицы нагрузок . И дисперсии специфич. Остатков являются неизвестными и подлежат определению. Таким образом, при проведении Ф. 1 ни структурные параметры, ни сами факторы не определяются однозначно. Если пара является решением в соотношении (2), то и любая другая пара вида где с- ортогональная матрица размера тоже будет удовлетворять соотношению (2). Обычно выясняют, при каких дополнительных априорных ограничениях на матрицу нагрузок qи на ковариационную матрицу остатков определение параметров q, f и анализируемой модели будет единственным.

Возможность ортогонального вращения решения факторной модели используется также для получения наиболее естественно интерпретируемого решения. статистич. Оценивания (по наблюдениям x1, x2,. ,x п) неизвестных структурных параметров модели qи статистич. Проверки ряда гипотез, связанных с природой модели (линейность, нелинейность и т. П.) и со значениями ее структурных параметров таких, как гипотеза об истинном числе общих факторов, гипотеза адекватности принятой модели по отношению к имеющимся результатам наблюдения, гипотеза о статистически значимом отличии от нуля коэффициентов qij и т. П. построения статистич. Оценок для ненаблюдаемых значений общих факторов f. Алгоритмически - вычислительной реализации процедур статистич.

Оценивания и статистич. Проверки гипотез. Разработка теоретически обоснованных решений перечисленных задач в достаточно полной мере осуществлена лишь в рамках описанной выше линейной нормальной модели Ф. А. Однако в практич. Применениях широко используются более общие версии моделей Ф. А. Нелинейные, построенные на неколичестненных переменных, оперирующие с трехмерными матрицами исходных данных (к двум традиционным измерениям исходных данных - размерности ри числу наблюдений п,- присоединяется еще одна, пространственная или временная, координата). Подобные модели не сопровождаются, как правило, сколько-нибудь убедительным матема-тико-статистич. Анализом их свойств, но основаны на вычислительных рекомендациях эвристич.

Или полуэвристич. Характера. Лит.:[1] Xатман Г., Современный факторный анализ, пер. С англ., М., 1972. [2] Айвазян С. А., Бежаева 3. И., Староверов О. В., Классификации многомерных наблюдений, М., 1974. [3] Sреаrman С., лAmer. J. Psychol..